Rasyonel ve Karesel Fonksiyonların Tersini Bulma

Rasyonel Fonksiyonun Tersini Bulma

Rasyonel referans fonksiyon f(x)=1/x'te bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirildiğinde elde edilen ilişki (x=1/y, yani y=1/x) yine bir fonksiyondur — çünkü referans fonksiyon zaten bire bir ve örtendir (kodomain ℝ−{0} olarak alındığında).

Örnek: f: A→B, f(x) = 1/(x+4) − 2 fonksiyonunun tersi bulunurken: y=1/(x+4)−2 eşitliğinde x ve y yer değiştirilir: x=1/(y+4)−2 → x+2=1/(y+4) → y+4=1/(x+2) → y = f⁻¹(x) = 1/(x+2) − 4. Fonksiyonun tersinin bir fonksiyon olabilmesi için orijinal fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir; bu nedenle tanım kümesi A = ℝ−{−4}, değer kümesi B = ℝ−{−2} olarak seçilmelidir (dikey asimptot x=−4, yatay asimptot y=−2 olduğundan).

Genel örüntü: g(x)=a/(x+r)+k formundaki bir rasyonel fonksiyonun tersi de yine a/(x+r')+k' formunda bir rasyonel fonksiyondur; tanım kümesi ℝ−{−r}, değer kümesi ℝ−{k} olan bir fonksiyonun tersi, tanım kümesi ℝ−{k}, değer kümesi ℝ−{−r} olan bir fonksiyondur (tanım ve değer kümeleri yer değiştirir).

Karesel Fonksiyonun Tersini Bulma

f: ℝ→ℝ, f(x)=x² fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirildiğinde (x=y²) her x>0 değeri için iki y değeri (±√x) bulunur — bu bir fonksiyon değildir. Ancak tanım kümesi kısıtlanırsa (örneğin f:[0,∞)→[0,∞)) fonksiyon bire bir hâle gelir ve tersi de bir fonksiyon olur: bu durumda tersi f⁻¹(x)=√x'tir (karekök referans fonksiyonu).

Benzer şekilde g(x)=x²−4 fonksiyonu g:[0,∞)→[−4,∞) olarak kısıtlandığında tersi g⁻¹(x)=√(x+4); g:(−∞,0]→[−4,∞) olarak kısıtlandığında tersi g⁻¹(x)=−√(x+4) olur — tanım kümesinin hangi yarısı seçildiğine göre tersin işareti değişir.

Uygulama Örneği: Su Deposu Doldurma Problemi

Bir su deposundaki suyun yüksekliği (cm), zamana (dk) bağlı olarak h(t) = t² + 2 ile modellenmiştir (t∈[0,15]).

a) h fonksiyonunun analizi: h(t)=t²+2, karesel referans fonksiyonun y ekseni boyunca 2 birim ötelenmiş hâlidir. h(0)=2 cm, h(15)=225+2=227 cm. Tanım kümesi [0,15], görüntü kümesi [2,227]'dir. [0,15] aralığında a<b iken h(a)<h(b) olduğundan h artan bir fonksiyondur (dolayısıyla bu kısıtlı aralıkta bire birdir).

b) Tersinin bulunması: h(t)=t²+2 eşitliğinden t çekilirse: h−2=t² → t(h) = √(h−2). Bu, h fonksiyonunun tersidir; grafiği h'nin grafiğinin y=x doğrusuna göre simetriği alınarak çizilebilir. t fonksiyonunda su yüksekliğinin aldığı [2,227] aralığı tanım kümesi, geçen zamanın aralığı [0,15] ise görüntü kümesidir. [2,227] aralığında a<b iken t(a)<t(b) olduğundan t de artan bir fonksiyondur.

Özet

• Rasyonel bir fonksiyonun tersi de rasyonel bir fonksiyondur; tanım ve değer kümeleri ters fonksiyonda yer değiştirir (asimptot konumları bu yüzden karşılıklı yer değiştirir).
• Karesel referans fonksiyonun (tüm ℝ üzerinde) tersi fonksiyon değildir, çünkü her pozitif değer için iki farklı karekök (+ ve −) vardır; ancak tanım kümesi [0,∞) veya (−∞,0] gibi tek işaretli bir aralığa kısıtlandığında fonksiyon bire bir hâle gelir ve tersi karekök fonksiyonu (uygun işaretle) olur.
• Su deposu örneğinde olduğu gibi, bir karesel fonksiyonun tersini bulmak "h(t)=... " eşitliğinden t'yi yalnız bırakmayı (karekök alarak) gerektirir; tersin tanım kümesi orijinal fonksiyonun görüntü kümesine, tersin görüntü kümesi orijinal fonksiyonun tanım kümesine eşittir.