Karesel Fonksiyonların Maksimum-Minimum Noktası Formülü ve Uygulamaları

Maksimum-Minimum Noktası Formülü

a, b, c gerçek sayılar ve a≠0 olmak üzere f(x) = ax²+bx+c şeklinde tanımlı bir fonksiyon için:

• a > 0 ise, fonksiyon x = −b/2a noktasında minimum değerini alır ve bu değer f(−b/2a)'dır.
• a < 0 ise, fonksiyon x = −b/2a noktasında maksimum değerini alır ve bu değer f(−b/2a)'dır.

Bu formül, tamkareye tamamlama işleminden türetilir: f(x)=ax²+bx+c = a(x+b/2a)²+(c−b²/4a) şeklinde yazıldığında, tepe noktasının x koordinatı −b/2a, y koordinatı (değeri) ise f(−b/2a)=c−b²/4a'dır.

Uygulama Örneği: Futbol Topu Atışı

Bir futbolcunun attığı topun izlediği yol, yatay mesafe x (m) ve yükseklik h(x) (m) olmak üzere h(x) = −x²+4x ile modellenmiştir.

Sıfırları (tamkareye tamamlama): h(x)=−x²+4x=−(x²−4x)=−(x²−4x+4−4)=−(x−2)²+4. h(x)=0 ⟹ (x−2)²=4 ⟹ x=0 veya x=4.

Sonuçlar: Topun yere düştüğü nokta ile atış noktası arasındaki mesafe, iki sıfır arasındaki fark olan 4 metredir (x-eksenini kestiği noktalar 0 ve 4). a=−1<0 olduğundan fonksiyon maksimum değerini x=−b/2a=−4/(2·(−1))=2 noktasında alır; bu, topun maksimum yüksekliğe ulaştığında yatayda 2 metre yol aldığı anlamına gelir. Maksimum yükseklik h(2)=−4+8=4 metredir.

Uygulama Örneği: Gezi Ücreti Optimizasyonu

Bir okul gezisine katılan kişi sayısına bağlı toplam ücret, kişi başı 1200 TL'den başlayıp 60 kişiden fazla her kişi için tüm katılımcılara 10 TL geri ödeme yapılarak hesaplanır (x≥60 kişi): f(x) = [1200−(x−60)·10]·x = 1800x−10x².

Maksimum gelir: a=−10, b=1800 olduğundan x=−b/2a=−1800/(2·(−10))=90 kişi. f(90)=1800·90−10·90²=90·(1800−900)=90·900=81.000 TL maksimum gelirdir.

Kâr-zarar etmeme noktası: Kulübün gezi firmasına 80.000 TL ödemesi gerektiğinden f(x)=80.000 denklemi çözülür: 1800x−10x²=80.000 → 10x²−1800x+80.000=0 → 10(x²−180x+8000)=0 → 10(x²−180x+8100−100)=0 → 10[(x−90)²−100]=0 → (x−90)²=100 → x−90=±10 → x=80 veya x=100. İşaret analizinden, f(x)≥80.000 (kâr veya zarar etmeme) koşulu 80≤x≤100 aralığında sağlanır; kulübün zarar etmemesi için en fazla 100 öğrenci katılabilir.

Uygulama Örneği: Kaya Altından Su Borusu Geçişi

Bir su borusunun izlediği yol f(x)=2x²−4x−6 ile modellenmiştir. Sıfırları: f(x)=2(x²−2x−3)=2(x−3)(x+1), sıfırları x=−1 ve x=3'tür; ancak yatay mesafe x≥0 olacağından anlamlı sıfır x=3'tür (kazı başlangıcı ile borunun tekrar yüzeye çıktığı nokta arasındaki x-ekseni kesişimleri). Minimum noktası x=−b/2a=4/4=1'de; f(1)=2−4−6=−8 (borunun en derin noktası, yani kayanın alt ucunun bulunduğu derinlik).

Bu üç örnekte ortak yöntem aynıdır: önce fonksiyon tamkareye tamamlanarak veya çarpanlarına ayrılarak sıfırları bulunur, ardından a katsayısının işaretine göre x=−b/2a noktasındaki ekstremum (maksimum veya minimum) hesaplanır; sıfırlar arasındaki fark, probleme özgü bir mesafe veya süre büyüklüğünü doğrudan verir.

Özet

• Bir f(x)=ax²+bx+c fonksiyonunun ekstremum noktası x=−b/2a formülüyle doğrudan hesaplanabilir; bu formül tamkareye tamamlama işleminin genelleştirilmiş sonucudur ve maksimum/minimum probleminin çözümünü hızlandırır.
• Fiziksel hareket problemlerinde (top atışı gibi) ekstremum noktası "en yüksek noktaya ulaşıldığında hangi yatay mesafede olunduğunu", sıfırlar ise "hareketin başladığı ve bittiği noktaları" verir; iki sıfır arasındaki fark toplam yatay mesafeyi (menzili) verir.
• Ekonomik optimizasyon problemlerinde (gezi ücreti gibi) maksimum gelir x=−b/2a noktasında bulunur; belirli bir hedef değere (örneğin başabaş noktasına) ulaşmak için f(x)=hedef denklemi çözülerek uygun aralık belirlenir.