f(x)=1/x Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

• Tanım kümesi: ℝ−{0} (x=0 için tanımsızdır, çünkü sıfıra bölme yapılamaz)
• Görüntü kümesi: ℝ−{0} (fonksiyon hiçbir zaman 0 değerini almaz)
• Sıfırı: yoktur (f(x)=0 eşitliğini sağlayan bir x değeri yoktur)
• İşareti: x>0 için f(x)>0, x<0 için f(x)<0
• Artan/Azalan: (−∞,0) aralığında azalan, (0,∞) aralığında da azalandır (ancak bu iki aralık birbirinden ayrı değerlendirilir — fonksiyon x=0'da tanımsız olduğundan tüm ℝ−{0} üzerinde tek bir monoton davranış söylenemez, her iki aralıkta ayrı ayrı azalandır)
• Asimptotlar: x, 0'a (0,∞) tarafından yaklaştıkça f(x) sonsuza gider (y ekseni dikey asimptottur); x sonsuza giderken f(x) 0'a yaklaşır (x ekseni yatay asimptottur)
• Bire bir: her farklı x değeri farklı bir f(x) değeri verdiğinden bire birdir
• Örten: kodomain ℝ−{0} olarak alındığında örtendir (her y≠0 değerine karşılık x=1/y bulunabilir); kodomain ℝ olarak alındığında örten değildir
• Tek/Çift: f(−x)=1/(−x)=−1/x=−f(x) olduğundan f tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir
• Maksimum/Minimum: yoktur (fonksiyon her iki yönde de sınırsızca büyür/küçülür)

Uygulama Örneği: Kısıtlı Tanım Kümesinde Rasyonel Fonksiyon

f: [2,4] → ℝ, f(x)=1/x fonksiyonu için: görüntü kümesi [1/4, 1/2]'dir (2≤x≤4 için 1/4≤1/x≤1/2, çünkü rasyonel referans fonksiyon aynı işaretli sayıları tersine çevirir). Maksimum değeri 1/2, x=2 noktasında alınır; minimum değeri 1/4, x=4 noktasında alınır (fonksiyon azalan olduğundan en küçük x'te en büyük değer elde edilir). Bire birdir: f(x₁)=f(x₂) ⟹ 1/x₁=1/x₂ ⟹ x₁=x₂. Örten değildir: görüntü kümesi [1/4,1/2], değer kümesi ℝ olduğundan eşit değildir. Azalandır: x₁f(x₂).

Tanım Aralığından Görüntü Aralığına Geçiş

Rasyonel referans fonksiyonda bir tanım aralığının görüntü aralığı, aynı işaretli sayıların tersine çevrilmesi ilkesiyle bulunur: (2,5) aralığı için 2<x<5 ⟹ 1/5<1/x<1/2, yani görüntü aralığı (1/5, 1/2)'dir. Genel kural: pozitif bir (a,b) aralığının görüntüsü (1/b, 1/a)'dır (uç noktaların sırası değişir, çünkü fonksiyon azalandır).

Özet

• Rasyonel referans fonksiyon f(x)=1/x, ℝ−{0} üzerinde tanımlı, görüntü kümesi de ℝ−{0} olan, sıfırı olmayan, her iki tanım aralığında (negatif ve pozitif) ayrı ayrı azalan, bire bir, örten ve tek bir fonksiyondur; maksimum/minimum değeri yoktur.
• Fonksiyonun "aynı işaretli sayıları tersine çevirme" özelliği (a1/b), bir tanım aralığının görüntü aralığını bulmada doğrudan kullanılır: pozitif bir aralığın uçları tersine çevrilip yer değiştirilerek görüntü aralığı elde edilir.
• Kısıtlı bir tanım kümesinde (örneğin [2,4]) rasyonel referans fonksiyonun maksimum değeri en küçük x'te, minimum değeri en büyük x'te alınır — çünkü fonksiyon bu aralıkta azalandır.