Rasyonel Referans Fonksiyona Uygulanan Dönüşümler

f: ℝ−{0} → ℝ, f(x)=1/x şeklinde tanımlı rasyonel referans fonksiyonundan türetilen g(x) = a·1/(x+r)+k (a,r,k∈ℝ, a≠0) fonksiyonlarına rasyonel fonksiyon denir.

Dönüşümlerin Grafiğe Etkisi

g(x)=a/(x+r)+k fonksiyonunun grafiği, f(x)=1/x referans fonksiyonundan sırasıyla şu adımlarla elde edilir:

1. 1. adım: f(x)=1/x fonksiyonu x ekseni boyunca negatif yönde r birim ötelenerek h(x)=1/(x+r) elde edilir.
2. 2. adım: h(x)=1/(x+r) fonksiyonunun değerleri a katına eşlenerek t(x)=a/(x+r) elde edilir (a<0 ise ayrıca x eksenine göre simetri uygulanır).
3. 3. adım: t(x)=a/(x+r) fonksiyonu y ekseni boyunca pozitif yönde k birim ötelenerek g(x)=a/(x+r)+k elde edilir.

g(x)=a/(x+r)+k Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

• Tanım kümesi: ℝ−{−r} (x=−r için payda sıfır olur, tanımsızdır)
• Görüntü kümesi: ℝ−{k} (yatay asimptot y=k'dır, bu değere hiçbir zaman ulaşılmaz)
• Bire birdir. Örten değildir (görüntü kümesi ℝ değil, ℝ−{k} olduğundan, kodomain ℝ ise).
• Maksimum-minimum noktası ve değeri yoktur.
• a > 0 ise: (−∞,−r) ve (−r,∞) aralıklarının her ikisinde de azalandır.
• a < 0 ise: (−∞,−r) ve (−r,∞) aralıklarının her ikisinde de artandır.

Önemli not: Bu davranış, karesel ve karekök fonksiyonlardan farklıdır — orada a>0 genellikle "artan" yönle ilişkiliydi, rasyonel fonksiyonda ise a>0 iken fonksiyon azalandır (referans fonksiyon 1/x'in kendisi zaten azalan olduğundan).

Uygulama Örneği: h(x)=3/x Fonksiyonunun İncelenmesi

h(x)=3·f(x)=3/x fonksiyonu için: tanım kümesi ℝ−{0} (referans fonksiyonla aynı, r=0), görüntü kümesi ℝ−{0}, x<0 için negatif, x>0 için pozitiftir; (−∞,0) ve (0,∞) aralıklarının her ikisinde de azalandır (a=3>0 olduğundan).

Uygulama Örneği: Detaylı Fonksiyon İncelemesi — g(x)=1/(x+4)+1

g: ℝ−{−4} → ℝ−{1}, g(x)=1/(x+4)+1 fonksiyonu için:

• Sıfırı: g(x)=0 ⟹ 1/(x+4)=−1 ⟹ 1=−x−4 ⟹ x=−5
• Örtenlik: görüntü kümesi ℝ−{1}, kodomain de ℝ−{1} olarak verildiğinden g örtendir
• Bire birlik: g(x₁)=g(x₂) ⟹ 1/(x₁+4)=1/(x₂+4) ⟹ x₁+4=x₂+4 ⟹ x₁=x₂, bu nedenle g bire birdir. (Referans fonksiyon f bire bir olduğundan, ona uygulanan öteleme/germe dönüşümleri bu özelliği bozmaz — bu genel bir kural olarak kullanılabilir.)
• Teklik-çiftlik: g(−x)=1/(−x+4)+1 olduğundan g(−x)≠g(x) ve g(−x)≠−g(x); g ne tek ne çift fonksiyondur (simetri merkezi orijin değil, (−4,1) noktasıdır).

Uygulama Örneği: Artan/Azalan İncelemesi — g(x)=1/(x+2)

g: ℝ−{−2} → ℝ−{0}, g(x)=1/(x+2) fonksiyonu için maksimum-minimum noktası yoktur (grafik incelendiğinde görülür). Cebirsel ispat: x₁0 olduğundan işaret (x₁+2)(x₂+2) çarpımına bağlıdır: −2<x₁<x₂ veya x₁<x₂<−2 durumlarının her ikisinde de bu çarpım pozitiftir, dolayısıyla g(x₁)−g(x₂)>0, yani g(x₁)>g(x₂) olur — bu da fonksiyonun her iki aralıkta da azalan olduğunu gösterir (a=1>0 olduğundan beklenen sonuçla tutarlıdır).

Özet

• g(x)=a/(x+r)+k formundaki bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi ℝ−{−r} (dikey asimptot x=−r), görüntü kümesi ℝ−{k}'dır (yatay asimptot y=k); fonksiyon her zaman bire birdir ama (kodomain ℝ ise) örten değildir ve maksimum/minimum değeri yoktur.
• a>0 iken fonksiyon her iki tanım aralığında da azalan, a<0 iken her iki aralıkta da artandır — bu, karesel/karekök fonksiyonların a-işaretine göre davranışından farklı bir örüntüdür.
• Referans fonksiyonun (1/x) bire bir olması, ona uygulanan öteleme ve dikey germe/simetri dönüşümlerinin bu özelliği koruması nedeniyle, türetilen her g(x)=a/(x+r)+k fonksiyonu da her zaman bire birdir.