Karesel Referans Fonksiyona Uygulanan Dönüşümler

f: ℝ → ℝ, f(x) = a·(x + r)² + k şeklinde tanımlanan fonksiyonların cebirsel temsiline karesel fonksiyon denir (a, r, k ∈ ℝ, a≠0). Bu forma tamkare formu denir ve karesel referans fonksiyon f(x)=x²'ye uygulanan dönüşümlerle elde edilir. Karesel fonksiyonların grafiği her zaman parabol belirtir.

Dönüşümlerin Grafiğe Etkisi

g(x) = a·(x+r)²+k fonksiyonunun grafiği, f(x)=x² referans fonksiyonundan sırasıyla şu adımlarla elde edilir:

1. 1. adım: f(x)=x² fonksiyonu x ekseni boyunca negatif yönde r birim ötelenerek m(x)=(x+r)² elde edilir. (r>0 ise sola, r<0 ise sağa kayma.)
2. 2. adım: m(x)=(x+r)² fonksiyonunun değerleri a katına eşlenerek n(x)=a·(x+r)² elde edilir. |a|>1 ise dikey germe (parabol dar/dik), 0<|a|<1 ise dikey sıkıştırma (parabol geniş/yassı) olur; a<0 ise ayrıca x eksenine göre simetri (parabol aşağı bakar) uygulanır.
3. 3. adım: n(x)=a·(x+r)² fonksiyonu y ekseni boyunca pozitif yönde k birim ötelenerek g(x)=a·(x+r)²+k elde edilir. (k>0 ise yukarı, k<0 ise aşağı kayma.)

Dönüşüm örnekleri: a=−1, r=0, k=0 için h(x)=−x² (x eksenine göre simetri). a=2, r=0, k=0 için m(x)=2x² (2 kat dikey germe). a=1, r=2, k=0 için h(x)=(x+2)² (x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme). a=1, r=0, k=2 için h(x)=x²+2 (y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme). a=1, r=1, k=3 için h(x)=(x+1)²+3 (x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme).

g(x)=a·(x+r)²+k Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

a > 0 için: - Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi [k, ∞) - (−∞, −r] aralığında azalan, [−r, ∞) aralığında artan - Minimum değeri k'dır; fonksiyon minimum değerini x = −r noktasında alır. Maksimum değeri yoktur. - Bire bir değildir, örten değildir. Simetri doğrusu x = −r'dir.

a < 0 için: - Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi (−∞, k] - (−∞, −r] aralığında artan, [−r, ∞) aralığında azalan - Maksimum değeri k'dır; fonksiyon maksimum değerini x = −r noktasında alır. Minimum değeri yoktur. - Bire bir değildir, örten değildir. Simetri doğrusu x = −r'dir.

Cebirsel İspat Örneği

Önerme: k≥0 olmak üzere g(x)=x²+k fonksiyonunun minimum değeri k'dır.

Cebirsel ispat: ∀x∈ℝ için x²≥0 olduğundan x²+k≥k olur. Yani g(x)=x²+k≥k her zaman sağlanır; fonksiyonun alabileceği en küçük değer k'dır (x=0 noktasında g(0)=k ile bu değere ulaşılır). Benzer mantıkla g(x)=x²+k fonksiyonu (−∞,0] aralığında azalan, [0,∞) aralığında artandır ve maksimum değeri yoktur (x arttıkça x² sınırsız büyür).

Uygulama Örneği: Bire Bir ve Örtenlik İncelemesi

g(x)=(x−2)²+1 fonksiyonu için: Bire bir değildir (g(1)=g(3)=2 iken 1≠3, çünkü |x₁−2|=|x₂−2| iken x₁≠x₂ olabilir). Örten değildir (değer kümesi ℝ'nin tamamı değil, [1,∞) olduğundan örneğin g(x₀)=−2 olacak bir x₀ yoktur). Ne tek ne çift fonksiyondur (g(−x)≠g(x) ve g(−x)≠−g(x); grafiği ne y eksenine ne orijine göre simetriktir, çünkü simetri ekseni x=−r=2'dir, x=0 değil).

Özet

• g(x)=a(x+r)²+k formundaki bir karesel fonksiyonun grafiği, referans fonksiyon x²'ye sırasıyla yatay öteleme (r), dikey germe/sıkıştırma ve gerekirse simetri (a), ve dikey öteleme (k) uygulanarak elde edilir; simetri doğrusu her zaman x=−r'dir.
• a>0 iken parabol yukarı açılır ve minimum değeri k'dır (x=−r'de); a<0 iken parabol aşağı açılır ve maksimum değeri k'dır (x=−r'de); her iki durumda da fonksiyon simetri doğrusunun bir tarafında artan, diğer tarafında azalandır.
• Tamkare formundaki karesel fonksiyonlar (referans fonksiyondan öteleme/ölçekleme ile türetildiklerinden) genellikle bire bir ve örten değildir, çünkü parabolün iki kolu simetrik olarak aynı y değerlerini tekrar üretir ve değer kümesi ℝ'nin yalnızca bir yarısını kapsar.