Karekök Fonksiyon Uygulama Problemleri

Uygulama Örneği: Basit Sarkacın Periyodu

Basit bir sarkacın periyodu (bir tam salınım için gereken süre) T = 2π√(l/g) formülüyle hesaplanır (l: sarkacın uzunluğu metre, g: yer çekimi ivmesi m/sn²). Yer çekimi ivmesinin g=9 m/sn² olduğu bir ortamda, sarkacın boyu x ve periyodu f(x) olmak üzere fonksiyon f(x) = (2π/3)·√x şeklinde modellenir (√g=√9=3 olduğundan).

Sarkacın boyu [1,9] aralığında değiştiğinde: bu fonksiyon a=2π/3>0, r=0, k=0 parametreli bir karekök fonksiyonu olduğundan tüm tanım aralığında artandır — yani sarkacın boyu arttıkça periyodu da artar. [1,9] aralığında minimum periyot x=1'de f(1)=2π/3 saniye, maksimum periyot x=9'da f(9)=(2π/3)·3=2π saniyedir.

Uygulama Örneği: Detaylı Fonksiyon İncelemesi — g(x)=2√(x+5)−4

f(x)=√x karekök referans fonksiyonuna uygulanan dönüşümlerle g(x)=2√(x+5)−4 fonksiyonu türetilmiştir (a=2, r=5, k=−4). Dönüşüm adımları: 1) f(x)=√x grafiği çizilir; 2) x ekseni boyunca negatif yönde 5 birim ötelenerek k(x)=√(x+5) elde edilir; 3) değerler 2 katına çıkarılarak m(x)=2√(x+5) elde edilir; 4) y ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ötelenerek g(x)=2√(x+5)−4 elde edilir.

Tanım kümesi: [−5, ∞) (x+5≥0 şartından). Görüntü kümesi: [−4, ∞).

Sıfırı: g(x)=2√(x+5)−4=0 → √(x+5)=2 → x+5=4 → x=−1.

Bire birlik (cebirsel inceleme): ∀x₁,x₂∈[−5,∞) için g(x₁)=g(x₂) olsun: 2√(x₁+5)−4=2√(x₂+5)−4 → √(x₁+5)=√(x₂+5) → x₁+5=x₂+5 → x₁=x₂. Bu nedenle g bire birdir.

Örtenlik: Tanım kümesi [−5,∞), görüntü kümesi [−4,∞) olduğundan, değer kümesi de [−4,∞) olarak alınırsa ∀y₀∈[−4,∞) için y₀=g(x₀) olacak bir x₀∈[−5,∞) bulunur; bu nedenle g örtendir (değer kümesi görüntü kümesiyle sınırlandırıldığında).

Teklik-çiftlik: g(−x)=2√(−x+5)−4 ve −g(x)=−2√(x+5)+4 olduğundan g(−x)≠g(x) ve g(−x)≠−g(x)'tir; g ne tek ne çift fonksiyondur (ayrıca tanım kümesi [−5,∞) simetrik olmadığından zaten teklik/çiftlik sorgusu tam anlamıyla uygulanabilir değildir).

Tanım ve Değer Kümesi Verilen Karekök Fonksiyonların İncelenmesi

Kısıtlı tanım ve değer kümeleriyle verilen karekök fonksiyonlarda, nitel özellikler doğrudan verilen kümelerden okunabilir. Örneğin f: [−2, ∞) → [−5, ∞), f(x)=√(x+2)−5 fonksiyonunda tanım kümesi [−2,∞), görüntü kümesi [−5,∞)'dur; a=1>0 olduğundan fonksiyon tüm tanım kümesinde artandır ve minimum değeri −5'i x=−2'de alır. g: [1, ∞) → [2, ∞), g(x)=3√(x−1)+2 fonksiyonunda benzer şekilde tanım kümesi [1,∞), minimum değeri 2'dir (x=1'de). h: [−4, ∞) → (−∞, 3], h(x)=−2√(x+4)+3 fonksiyonunda ise a=−2<0 olduğundan fonksiyon azalandır ve maksimum değeri 3'ü x=−4'te alır; görüntü kümesi (−∞,3]'tür.

Özet

• Karekök fonksiyonla modellenen gerçek hayat ilişkilerinde (sarkaç periyodu gibi), bağımsız değişken arttıkça bağımlı değişkenin nasıl değiştiği doğrudan a parametresinin işaretinden (a>0 ise her ikisi birlikte artar) okunabilir.
• g(x)=a√(x+r)+k formundaki bir fonksiyonun sıfırı, g(x)=0 denklemi kurulup önce √(x+r) yalnız bırakılıp sonra her iki taraf karesi alınarak bulunur.
• Karekök fonksiyonların bire birliği, g(x₁)=g(x₂) varsayımından x₁=x₂ sonucuna cebirsel olarak ulaşılarak kanıtlanır; bu yöntem, fonksiyonun tersinin var olup olmadığını belirlemede temel bir adımdır.