İki Fonksiyonun Karşılaştırılması ile Problem Çözme

Gerçek hayatta iki farklı seçenek (tarife, ürün, strateji) arasında hangisinin daha avantajlı olduğunu belirlemek için, her seçeneği ayrı bir fonksiyonla modelleyip f(x)=g(x), f(x)>g(x), f(x)<g(x) denklem/eşitsizliklerini çözmek gerekir.

Uygulama Örneği: Ters Orantı ve Doğru Orantının Karşılaştırılması (Yumurta Kârı)

Bir çiftlikte A yumurtasının kârı maliyetle ters orantılı, B yumurtasının kârı maliyetle doğru orantılıdır. A yumurtasının maliyeti 2 TL iken kârı 8 TL; B yumurtasının maliyeti 2 TL iken kârı 2 TL'dir.

Fonksiyonların bulunması: Ters orantıda f(x)=k/x biçimindedir; 8=k/2'den k=16, yani f(x)=16/x. Doğru orantıda g(x)=k·x biçimindedir; 2=k·2'den k=1, yani g(x)=x.

Eşit kâr noktası: f(x)=g(x) ⟹ 16/x=x ⟹ x²=16 ⟹ x=4 (maliyet pozitif olduğundan x=−4 elenir). Her iki üründen eşit kâr elde etmek için maliyet 4 TL olmalıdır.

Karşılaştırma: f(x)>g(x) ⟹ 16/x>x eşitsizliğinin çözümü, grafiklerin kesişim noktasından (x=4) önceki bölgede (0<x<4) sağlanır — yani maliyet 4 TL'den az olduğunda A yumurtası (ters orantılı) daha kârlıdır; maliyet 4 TL'yi aştığında B yumurtası (doğru orantılı) daha kârlı olur.

Uygulama Örneği: Doğrusal ve Karesel Fonksiyonun Karşılaştırılması (Kargo Tarifesi)

Bir kargo şirketinde A tarifesi (kargo lirası) = paket kütlesinin karesinin bir eksiği (f(x)=x²−1), B tarifesi = paket kütlesinin dört katının dört eksiği (g(x)=4x−4) olarak belirlenmiştir.

Sıfırlar: f(x)=0 ⟹ x²=1 ⟹ x=1 (kütle pozitif); g(x)=0 ⟹ x=1. Her iki tarifenin sıfırı aynı noktadadır (x=1), bu da 1 kg'a kadar ücretsiz taşımanın sınırını doğrular.

Karşılaştırma: f(x)=g(x) ⟹ x²−1=4x−4 ⟹ x²−4x+3=0 ⟹ (x−1)(x−3)=0 ⟹ x=1 veya x=3. İşaret analizinden, x<1 veya x>3 için f(x)>g(x) (A tarifesi pahalı), 1<x<3 için f(x)<g(x) (A tarifesi daha ucuz) bulunur — bu nedenle 1-3 kg arasındaki paketlerde A tarifesi tercih edilmeli, 3 kg'ın üzerinde B tarifesi daha uygun olur.

Uygulama Örneği: İki Karesel Fonksiyonun Karşılaştırılması (Bahçe Alanları)

Bir çiftçinin alt bahçesi (100 m tel, kısa kenar x) ve üst bahçesi (110 m tel, kısa kenar 2x) dikdörtgen şeklindedir. Alt bahçe alanı f(x)=x(50−x)=50x−x², üst bahçe alanı g(x)=2x(55−2x)=110x−4x²'dir.

Üst bahçenin alanının büyük olma koşulu: g(x)>f(x) ⟹ 110x−4x²>50x−x² ⟹ 0>3x²−60x. h(x)=3x²−60x=3x(x−20) olarak çarpanlara ayrılır; h fonksiyonunun sıfırları x=0 ve x=20'dir. İşaret tablosundan h(x)<0 olan aralık (0,20)'dir. Bu nedenle alt bahçenin kısa kenar uzunluğu 0 ile 20 metre arasında olmalıdır ki üst bahçenin alanı daha büyük olsun.

Özet

• İki seçeneği karşılaştıran problemlerde her seçenek ayrı bir fonksiyonla ifade edilir; f(x)=g(x) denklemi "eşit olma" noktasını, f(x)>g(x) ve f(x)<g(x) eşitsizlikleri ise hangi aralıkta hangi seçeneğin üstün olduğunu verir.
• Ters orantılı (k/x) ve doğru orantılı (k·x) fonksiyonların karşılaştırılmasında, kesişim noktasının öncesinde ters orantılı fonksiyon büyük, sonrasında doğru orantılı fonksiyon büyük olma eğilimindedir (küçük x değerlerinde 1/x büyük değerler alır).
• Karesel-karesel veya karesel-doğrusal karşılaştırmalarda, farkın (f(x)−g(x)) sıfırları bulunup çarpanlarına ayrılarak işaret tablosu oluşturulur; bu tablo hangi aralıkta hangi fonksiyonun daha büyük olduğunu doğrudan gösterir.