Fonksiyonların Nitel Özellikleri: Sıfır, Artan/Azalan, Maksimum/Minimum, Bire Bir ve Örten

Bir fonksiyonun grafiği incelendiğinde, fonksiyonun davranışını anlamamızı sağlayan çeşitli nitel özellikler belirlenebilir: sıfırları, pozitif/negatif olduğu aralıklar, artan/azalan olduğu aralıklar, maksimum/minimum değerleri, bire bir olup olmadığı ve örten olup olmadığı.

Fonksiyonun Sıfırları, Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar

f fonksiyonunda f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerine f fonksiyonunun sıfırı denir.

Örnek: Tanım kümesi [−3, 6) olan bir f fonksiyonunun sıfırı 2'dir; f, [−3, 2) aralığında pozitif, (2, 6) aralığında negatiftir. Tanım kümesi [−7, 6] olan bir g fonksiyonunun sıfırı −5'tir; g, [−7, −5) aralığında negatif, (−5, 6] aralığında pozitiftir.

Artan ve Azalan Fonksiyon

Tanım kümesindeki farklı a, b elemanları için a > b iken f(a) > f(b) ise f fonksiyonu o aralıkta artandır; f(a) < f(b) ise azalandır.

Örnek: Bir f fonksiyonu [−3, −1] aralığında artan, [−1, 4] aralığında azalan, [4, 6) aralığında tekrar artandır. Bir g fonksiyonu tüm tanım kümesi [−7, 6] boyunca artandır (azalan olduğu bir aralık yoktur).

Maksimum ve Minimum Değer

∀x ∈ [a, b] için f(x) ≤ f(m) şartını sağlayan f(m) değerine f fonksiyonunun maksimum değeri; f(x) ≥ f(n) şartını sağlayan f(n) değerine minimum değeri denir.

Örnek: f fonksiyonunun maksimum değeri 5 olup bu değeri x=−1 noktasında, minimum değeri −4 olup bu değeri x=4 noktasında alır. g fonksiyonunun maksimum değeri 5 (x=6'da), minimum değeri −2'dir (x=−7'de).

Bire Bir Fonksiyon

Tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesindeki karşılıkları da farklıysa fonksiyon bire birdir. Yukarıdaki örnekte, f fonksiyonunda a≠b iken f(a)=f(b) olan durumlar bulunduğundan f bire bir değildir; g fonksiyonunda a≠b iken her zaman g(a)≠g(b) olduğundan g bire birdir.

Örten Fonksiyon

A, B ⊆ ℝ, f: A → B olmak üzere ∀y₀ ∈ B için y₀ = f(x₀) olacak şekilde ∃x₀ ∈ A varsa f'ye örten fonksiyon denir — yani değer kümesindeki (B) her eleman, tanım kümesinden en az bir elemanla eşleşmelidir; hiçbir eleman açıkta kalmamalıdır.

Örnek: Gerçek sayılarda tanımlı ve değerli bir f fonksiyonunun grafiğinde, y₀=−4 değerine karşılık gelen bir x₀ bulunamıyorsa f örten değildir. Bir g fonksiyonunun grafiğinde değer kümesindeki her değere karşılık bir x₀ bulunuyorsa g örtendir.

Kapsamlı Uygulama Örneği: Hava Sıcaklığı Grafiği

Bir günlük hava sıcaklığı-zaman grafiğinde (00.00'dan 24.00'e kadar), sıcaklık −8°C ile 12°C arasında değişmektedir. Bu grafikten şu nitel özellikler okunabilir: tanım kümesi [0,24] saat; görüntü kümesi [−8,12] °C; belirli saatlerde sıcaklığın 0°C olduğu noktalar fonksiyonun sıfırlarıdır; sıcaklığın arttığı ve azaldığı saat aralıkları fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıklardır; günün en düşük/yüksek sıcaklığı fonksiyonun minimum/maksimum değeridir. Eğer grafikteki değer aralığı, geçmişteki tüm ölçümlerin oluşturduğu daha geniş bir "değer kümesinin" bir alt kümesiyse (görüntü kümesi ⊆ değer kümesi), bu fonksiyonun tanımlı olduğunu gösterir; farklı zaman dilimlerinde farklı sıcaklıklar ölçülüyorsa (her saate karşılık farklı bir sıcaklık) fonksiyon bire bire yaklaşan bir davranış sergiler, ancak günlük sıcaklık genelde aynı değeri birden fazla saatte alabileceğinden çoğu zaman bire bir değildir.

Özet

• Bir fonksiyonun sıfırları f(x)=0 olan x değerleridir; fonksiyon bu sıfırlar arasında sırayla pozitif ve negatif değerler alabilir. Artan/azalan aralıklar, girdi büyüdükçe çıktının büyüyüp büyümediğine; maksimum/minimum değerler, fonksiyonun aldığı en büyük/en küçük değerlere karşılık gelir.
• Bire bir fonksiyonda farklı girdiler her zaman farklı çıktılar verir (a≠b ⟹ f(a)≠f(b)); örten fonksiyonda değer kümesindeki her eleman, tanım kümesinden en az bir elemanla eşleşir (hiçbir çıktı "açıkta" kalmaz).
• Bu altı nitel özellik (sıfır, işaret aralıkları, monotonluk, ekstremum, bire birlik, örtenlik) bir fonksiyonun grafiğinden doğrudan okunabilir ve fonksiyonun genel davranışını tam olarak karakterize etmede birlikte kullanılır.