Fonksiyon Tanımı, Tanım-Değer-Görüntü Kümesi

Günlük yaşamda bazı durumlar doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilirken her gerçek yaşam durumu doğrusal fonksiyonlarla ifade edilemez. Fizikteki serbest düşme hareketi (h(t) = h₀ − ½gt² şeklinde, doğrusal olmayan bir fonksiyon), meteorolojik sıcaklık değişimleri gibi durumlarda genellikle doğrusal olmayan fonksiyonlardan faydalanılır. Mühendislik ve mimaride de (köprü halatları, kubbe yapıları gibi) birçok yapı doğrusal olmayan fonksiyonlarla modellenir.

Fonksiyon Tanımı

A ≠ ∅ ve A ⊆ ℝ olmak üzere ∀x ∈ A için bir ve yalnız bir f(x) ∈ ℝ varsa f'ye A'dan ℝ'ye tanımlı bir fonksiyon denir ve f: A → ℝ, y = f(x) şeklinde gösterilir.

f: A → ℝ olmak üzere f fonksiyonunda A tanım kümesi, ℝ değer kümesidir. Tanım kümesindeki elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir; bu küme f(A) ile gösterilir.

Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için: tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesinde tek bir karşılığı olmalı (her girdi için yalnızca bir çıktı) ve tanım kümesindeki her eleman için bir karşılık bulunmalıdır (eksiksiz eşleme).

Uygulama Örneği: Tanker Boşalma Problemi

600 litre yakıtlı bir tankerden dakikada 20 litre yakıt akmaktadır. Zaman (dakika) ile kalan yakıt miktarı (litre) arasındaki ilişki incelendiğinde: her bir zaman değeri için depoda kalan yakıt miktarı tek bir değerdir ve yakıtın akıtıldığı her an için bir karşılık bulunur — bu nedenle bu ilişki bir fonksiyondur. Fonksiyonun cebirsel ifadesi f(x) = 600 − 20x şeklindedir (x dakika, f(x) litre). Tablo değerleri: x=0 için 600 L, x=5 için 500 L, x=15 için 300 L, x=25 için 100 L, x=30 için 0 L (depo tamamen boşalır).

Değer kümesi ile görüntü kümesi ilişkisi: Fonksiyonun görüntü kümesini alt küme olarak kabul eden sayı kümesine değer kümesi denir. Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir — bu, fonksiyonun tanımlılığı açısından önemlidir (görüntü kümesindeki her değer, seçilen değer kümesinin bir elemanı olmalıdır).

Uygulama Örneği: Taksimetre Ücreti

İstanbul'da taksimetre açılış fiyatı 30 TL, kilometre başına ücret 20 TL'dir. x kilometre cinsinden mesafe, y TL cinsinden ücret olmak üzere cebirsel temsil y = 30 + 20x şeklindedir. Bu ifadede x değişkeni [0, ∞) aralığında, y değişkeni [30, ∞) aralığında değer alır. Her bir x değerine karşılık gelen yalnız bir y değeri olduğundan bu ifade bir fonksiyon belirtir: f(x) = 30 + 20x.

Grafik Üzerinden Fonksiyon Olma Testi (Düşey Doğru Testi)

Bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediği, tanım kümesindeki her x değeri için yalnız bir görüntü olup olmadığına bakılarak test edilir.

Örnek: f: ℝ → [−2, ∞) grafiğinde tanım kümesindeki her x için yalnız bir f(x) ∈ [−2, ∞) olduğundan f fonksiyondur. g: [0, ∞) → ℝ grafiğinde tanım kümesindeki bazı x değerleri ℝ'de birden fazla elemanla eşleştiğinden g fonksiyon değildir. h: [−4, 4] → [−3, 3] grafiğinde de bazı x değerleri birden fazla elemanla eşleştiğinden h fonksiyon değildir.

Özet

• Bir fonksiyon f: A → ℝ, tanım kümesi A'daki her elemanın değer kümesinde tam olarak bir görüntüsü olması koşuluyla tanımlanır; görüntü kümesi f(A), tanım kümesindeki elemanların görüntülerinin oluşturduğu kümedir ve her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir.
• Gerçek hayattaki bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığı, her girdi (bağımsız değişken) için tek bir çıktı (bağımlı değişken) olup olmadığı ve tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığının bulunup bulunmadığı kontrol edilerek belirlenir (tanker ve taksimetre örneklerinde olduğu gibi).
• Bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediği, tanım kümesindeki her x değerinin görüntü kümesinde yalnızca bir elemanla eşleşip eşleşmediğine bakılarak test edilir; bir x değeri birden fazla y değeriyle eşleşiyorsa ilişki fonksiyon değildir.