Kosinüs ve Tanjant Fonksiyonlarında Dönüşüm Uygulamaları

Dönüşüm Kurallarının Kosinüs ve Tanjanta Uygulanması

Sinüs fonksiyonu için geçerli olan g(x)=k·f(mx+r)+s dönüşüm kuralları (k: dikey germe/yansıma, s: dikey öteleme, m: periyot değişimi, r: yatay öteleme), aynı şekilde kosinüs ve tanjant referans fonksiyonları için de geçerlidir. Kosinüs ve sinüs için periyot T=2π/|m|; tanjant (ve kotanjant) için periyot T=π/|m| formülüyle hesaplanır (tanjantın referans periyodu π olduğundan).

Örneğin h(x)=3·tanx, tanx grafiğinin 3 kat dikey gerilmiş hâlidir; h(x)=tan(3x) grafiği ise x ekseni boyunca 3 kat sıkıştırılmış olup periyodu π/3'tür. h(x)=tan(x-1)+2 grafiği, tanx grafiğinin x ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim ötelenmiş hâlidir.

Tanjant Fonksiyonunun Tanım Kümesi Dönüşümü

f(x)=tanx fonksiyonunun tanım kümesi R−{π/2+kπ, k∈Z}'dir. g(x)=k·tan(mx+r)+s biçiminde bir dönüşümde, tanımsızlık noktaları da m ve r'ye göre kayar: tanım kümesi R−{(π/2+(2k+1)·0−r)/m, k∈Z} biçiminde genelleştirilebilir — pratikte, mx+r ifadesinin π/2+kπ değerini aldığı x değerleri tanım kümesinden çıkarılır.

Hesaplama Örneği: Dönme Dolap (Kosinüs Modeli)

Yarıçapı 15 metre olan bir dönme dolap pozitif yönde dönmektedir. 1 numaralı kabinin bağlantı noktasının yerden yüksekliği, zaman t (saniye) cinsinden f(t) = −15·cos(πt/30) + 16 fonksiyonuyla modellenmiştir. Bu fonksiyonun nitel özellikleri:

• Tanım kümesi: [0,∞) (zaman negatif olamaz)
• Görüntü kümesi: −1≤cos(πt/30)≤1 olduğundan −15≤−15cos(πt/30)≤15, ardından 1≤f(t)≤31; görüntü kümesi [1,31]
• Periyot: m=π/30 olduğundan T=2π/|π/30|=60 saniye
• İşareti: Yükseklik her zaman pozitif olduğundan fonksiyonun işareti daima pozitiftir
• Artan-azalan aralıklar: [0,30] aralığında artan, [30,60] aralığında azalan; genelleştirilirse k≥0 tam sayı olmak üzere [60k, 60k+30]'da artan, [60k+30, 60k+60]'da azalandır
• Maksimum: x=60k+30 (k≥0) noktalarında, değeri 31 metre
• Minimum: x=60k (k≥0) noktalarında, değeri 1 metre
• Sıfırları: Yükseklik hiçbir zaman 0 olamayacağından sıfırı yoktur
• Bire bir/örten: Kabin aynı yüksekliğe farklı zamanlarda ulaştığından bire bir değildir; 1 ile 31 metre arasındaki her yüksekliğe ulaşabildiğinden f:[0,∞)→[1,31] örtendir
• Tek-çift: Fonksiyon yalnızca t≥0 için tanımlı olduğundan tek ya da çift fonksiyon değildir

Genel Formül: f(x) = k·cos(ax+b)+m Periyodu

f(x) = k·cos(ax+b)+m (k,a,b,m∈R, k≠0, a≠0) şeklinde tanımlı bir trigonometrik fonksiyonun periyodu T = 2π/|a| formülüyle hesaplanır. Dönme dolap örneğinde a=π/30 olduğundan T=2π/(π/30)=60 bulunur — bu da fiziksel olarak dönme dolabın bir tam turu 60 saniyede tamamladığı anlamına gelir.

Özet

• Sinüs için geçerli olan g(x)=k·f(mx+r)+s dönüşüm kuralları (dikey germe, dikey öteleme, periyot T=2π/|m|, yatay öteleme) kosinüs için de aynı şekilde uygulanır; tanjant/kotanjant için periyot formülü T=π/|m| olur (referans periyotları π olduğundan).
• Dönme dolap örneğinde f(t)=−15cos(πt/30)+16 modeli, periyodu 60 saniye olan, görüntü kümesi [1,31] olan, hiçbir zaman sıfır olmayan, daima pozitif işaretli, örten ama bire bir olmayan bir fonksiyondur.
• k·cos(ax+b)+m biçimindeki bir fonksiyonun periyodu her zaman T=2π/|a| formülüyle hesaplanır; bu formül fiziksel periyodik hareketleri (dönme dolap, sarkaç, dalga gibi) modellemede doğrudan kullanılır.