Trigonometrik Fonksiyonlarda Dönüşümler

g(x) = k·f(mx+r)+s Genel Formu

f(x)=sinx (veya cosx) referans fonksiyonundan g(x) = k·f(mx+r)+s (k,m,r,s∈R, k≠0, m≠0) biçiminde yeni fonksiyonlar türetilebilir. Her parametrenin grafiğe etkisi farklıdır:

k Parametresinin Etkisi (Dikey Germe/Sıkıştırma ve Genlik)

m=1, r=0, s=0 iken k her bağımsız değişkenin fonksiyon değerini k ile çarpar: |k|>1 ise dikey germe (grafiğin y yönünde uzaması), 0<|k|<1 ise dikey sıkıştırma oluşur. k<0 ise ayrıca x eksenine göre simetri (yansıma) oluşur. Örneğin h(x)=2·sinx, sinx grafiğinin 2 kat dikey gerilmiş hâlidir; görüntü kümesi [−1,1]'den [−2,2]'ye genişler.

s Parametresinin Etkisi (Dikey Öteleme)

m=1, r=0, s≠0 iken s, her fonksiyon değerine eklenir: s>0 ise grafiğin y ekseni boyunca pozitif yönde |s| birim ötelenmesi, s<0 ise negatif yönde ötelenmesi anlamına gelir. Örneğin h(x)=sinx+4, sinx grafiğinin yukarı doğru 4 birim ötelenmiş hâlidir; görüntü kümesi [−1,1]'den [3,5]'e kayar.

m Parametresinin Etkisi (Periyot ve Yatay Sıkıştırma/Germe)

r=0 iken m, bağımsız değişkeni m ile çarparak yatay yönde sıkıştırma (|m|>1) veya germe (0<|m|<1) oluşturur. Bu dönüşüm, fonksiyonun periyodunu değiştirir: sinx ve cosx referans fonksiyonlarının periyodu 2π iken, g(x)=k·sin(mx+r)+s biçimindeki fonksiyonun periyodu T = 2π/|m| olur (tanx, cotx için T=π/|m|). Örneğin h(x)=sin(2x), sinx grafiğinin x ekseni boyunca 2 kat daralmış hâlidir; periyodu 2π/2=π olur.

r Parametresinin Etkisi (Yatay Öteleme)

k, m sabit iken r, bağımsız değişkene eklenir ve grafiği x ekseni boyunca −r/m birim öteler (r ile aynı işaretli yönde). Örneğin h(x)=sin(x−3)+2, sinx grafiğinin x ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim ötelenmiş hâlidir.

Genel Dönüşüm Örneği: h(x)=2·sin(x+3)−1

Bu fonksiyonda k=2 (dikey germe), m=1 (periyot değişmez), r=3 (yatay öteleme), s=−1 (dikey öteleme −1) etkilerinin tümü birleşir. Görüntü kümesi: −1≤sinx≤1 olduğundan −2≤2sinx≤2, ardından −2−1≤2sinx−1≤2−1 ⟹ [−3,1]. Periyodu: m=1 olduğundan değişmeden 2π kalır. Tanım kümesi: sinx tüm R'de tanımlı olduğundan h(x) de R'de tanımlıdır.

Uygulama Örneği: Sarkaç Modeli

Uzunluğu OA=18 cm olan bir sarkaç, dikey düzlemle x radyanlık açı yaparak salınım hareketi yapmaktadır; topuzun yerden yüksekliği f(x) = 23 − 18·sin(x+π/2) fonksiyonuyla modellenmiştir. Bu modelde sinx referans fonksiyonuna sırasıyla: yatay öteleme (+π/2), dikey germe ve yansıma (k=−18, negatif işaret nedeniyle ters yönde hareket), dikey öteleme (+23) dönüşümleri uygulanmıştır. Bu türden modellerde, fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıklar, k'nın işaretine göre referans fonksiyonun artan/azalan aralıklarının tersine çevrilmesiyle bulunur (k negatifse referans fonksiyon arttığında bileşke fonksiyon azalır).

İspat Örneği: g(x)=sin4x'in [0,2π) Aralığındaki Sıfır Sayısı

sinx referans fonksiyonunun periyodu 2π'dir ve [0,2π) aralığında 2 sıfırı vardır (x=0 ve x=π). g(x)=sin(4x) fonksiyonunda m=4 olduğundan periyot T=2π/4=π/2'dir. [0,2π) aralığı, π/2 periyotluk 4 tam periyot içerir (2π÷(π/2)=4); her periyotta 2 sıfır olduğundan toplam sıfır sayısı 4×2=8'dir.

Özet

• g(x)=k·f(mx+r)+s dönüşümünde: k dikey germe/sıkıştırma (ve k<0 ise yansıma) yapar, s dikey öteleme yapar, m periyodu T=2π/|m| (sin/cos için) veya T=π/|m| (tan/cot için) olarak değiştirir, r yatay öteleme (−r/m birim) yapar.
• Bu dönüşümler birleştiğinde görüntü kümesi, periyot ve tanım kümesi ayrı ayrı hesaplanabilir: örneğin h(x)=2sin(x+3)−1'in görüntü kümesi [−3,1], periyodu 2π (m=1 olduğundan değişmez), tanım kümesi R'dir.
• Periyot değişiminden yararlanarak bir aralıktaki sıfır/maksimum/minimum sayısı hesaplanabilir: g(x)=sin4x'in periyodu π/2 olduğundan [0,2π) aralığında 4 periyot bulunur ve her periyotta referans fonksiyonun sıfır sayısı (2) ile çarpılarak toplam sıfır sayısı (8) bulunur.