Birim Çemberde Trigonometrik Oranlar

Birim Çember Üzerinde Nokta Koordinatları

Birim çember üzerindeki P noktasından ve orijinden geçen [OP] ışınının x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü α, P noktasının apsis ve ordinat değerleri sırasıyla OB ve PB olsun. OP=1 (yarıçap) olduğundan: cosα = OB/OP = OB ve sinα = PB/OP = PB. Buna göre birim çember üzerindeki her P noktasının koordinatları P(cosα, sinα)'dır. POB dik üçgeninde Pisagor teoreminden her α∈R için cos²α + sin²α = 1 elde edilir.

Hesaplama Örneği: Özel Açıların Sinüs-Kosinüs Değerleri

Birim çember ve özel üçgen (30°-60°-90°, 45°-45°-90°) oranları kullanılarak:

• 120°: P noktası 2. bölgede; OPL üçgeninde açılar 30°-60°-90° olduğundan OL=1/2, PL=√3/2 birim. sin120°=√3/2, cos120°=−1/2 (2. bölgede kosinüs negatiftir).
• 225°: P noktası 3. bölgede; OPL üçgeni 45°-45°-90° olduğundan OL=PL=√2/2 birim. sin225°=−√2/2, cos225°=−√2/2 (3. bölgede ikisi de negatiftir).
• 330°: P noktası 4. bölgede; OPL üçgeni 30°-60°-90° olduğundan OL=√3/2, PL=1/2 birim. sin330°=−1/2, cos330°=√3/2 (4. bölgede sinüs negatiftir).

Bölgelere Göre İşaret Kuralı

Birim çemberin dört bölgesinde sinüs ve kosinüs değerlerinin işareti şöyledir: - 1. Bölge (0°-90°): sinα>0, cosα>0 - 2. Bölge (90°-180°): sinα>0, cosα<0 - 3. Bölge (180°-270°): sinα<0, cosα<0 - 4. Bölge (270°-360°): sinα<0, cosα>0

Tanjant ve Kotanjant Tanımları

P(a,b)=P(cosα,sinα) olmak üzere, a≠0 olmak üzere tanα=b/a=sinα/cosα ve b≠0 olmak üzere cotα=a/b=cosα/sinα eşitlikleri sağlanır. Tanjant, kosinüsün sıfır olduğu noktalarda (α=π/2+kπ, k∈Z); kotanjant ise sinüsün sıfır olduğu noktalarda (α=kπ, k∈Z) tanımsızdır.

Açı Ölçüsü ile Gerçek Sayı Arasındaki İlişki

O noktası sabit kalmak üzere P noktası birim çember üzerinde hareket ettirildikçe, oluşan AP yayının uzunluğu her zaman bir gerçek sayıyla ifade edilir; bu nedenle birim çemberde her açı ölçüsüne karşılık gelen bir gerçek sayı vardır. Bu ilişki, trigonometrik fonksiyonların gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanmasını mümkün kılar:

f: R→[−1,1], f(x)=sinx; g: R→[−1,1], g(x)=cosx; h: R−{π/2+kπ, k∈Z}→R, h(x)=tanx; r: R−{kπ, k∈Z}→R, r(x)=cotx şeklinde tanımlı fonksiyonlara trigonometrik referans fonksiyonlar denir.

Uygulama Örneği: Rüzgâr Türbini

Bir tam dönüşünü 72 saniyede tamamlayan, 24 eşit pervaneli bir rüzgâr türbininde, ardışık pervaneler arası açı 360°/24=15°'dir; bir pervane 3 saniyede bir sonraki pervane konumuna gelir (72/24=3 saniye/15°). A noktası (merkeze uzaklığı 1 metre) 18 saniye sonra 6 pervane ilerlemiş olur: 6×15°+30° (başlangıç açısı)=120°; 24 saniye sonra 8×15°+30°=150° konumuna gelir. Bu noktaların koordinatları sırasıyla (cos120°, sin120°)=(−1/2, √3/2) ve (cos150°, sin150°)=(−√3/2, 1/2)'dir. 2. bölgede açı ölçüsü arttıkça kosinüs değerleri azalır, sinüs değerleri de azalır (120°'den 150°'ye gidildiğinde sin ve cos'un mutlak değerce değişimi bu yönde gözlenir).

Özet

• Birim çember üzerindeki her P noktasının koordinatları P(cosα, sinα)'dır; Pisagor teoreminden cos²α+sin²α=1 elde edilir; tanα=sinα/cosα (cosα≠0), cotα=cosα/sinα (sinα≠0) olarak tanımlanır.
• Sinüs ve kosinüsün işareti bölgeye göre değişir: 1. bölgede ikisi de pozitif, 2. bölgede yalnızca sinüs pozitif, 3. bölgede ikisi de negatif, 4. bölgede yalnızca kosinüs pozitiftir.
• Birim çemberde her açı ölçüsüne bir gerçek sayı (yay uzunluğu) karşılık geldiğinden trigonometrik referans fonksiyonlar (sinx, cosx, tanx, cotx) gerçek sayılar kümesinde tanımlanabilir; tanx, cosx=0 noktalarında (π/2+kπ), cotx ise sinx=0 noktalarında (kπ) tanımsızdır.