Birim Çember, Yönlü Açı ve Açı Ölçü Birimleri

Birim Çember ve Yönlü Açı

Dik koordinat sisteminde merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. Başlangıç noktaları aynı olan iki ışından biri başlangıç kolu, diğeri bitiş kolu olarak alındığında oluşan açıya yönlü açı denir. Saatin dönme yönünün tersinde olan açılar pozitif yönlü, saatin dönme yönünde olan açılar negatif yönlüdür. Çembersel hareketlerde "yukarı, aşağı, sağa, sola" gibi belirsiz ifadeler yerine pozitif/negatif yönlü açı kavramları kullanılır (örneğin Dünya'nın kendi ekseni etrafında dönmesi pozitif yönlü kabul edilir).

Derece ve Radyan

Tam bir dairenin 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Bir çemberde yarıçap uzunluğuna eşit olan yayın uzunluğunu gören merkez açının ölçüsüne ise 1 radyan denir.

Birim çemberin çevre uzunluğu Ç=2πr=2π·1=2π birim olduğundan ve çemberin tam turu 360°'ye karşılık geldiğinden: 360° = 2π radyan. Buradan yarım çemberin yayı 180°=π radyan, çeyrek çemberin yayı 90°=π/2 radyandır.

Derece (D) ile radyan (R) arasındaki dönüşüm bağıntısı: D/180° = R/π. Bu kitapta bir açının ölçüsü π cinsinden yazıldığında, ölçünün birimi radyan olarak kabul edilir.

Örnekler: π/3 radyan kaç derecedir? D/180°=（π/3)/π ⟹ D=60°. 135° kaç radyandır? R/π=135°/180° ⟹ R=3π/4 radyan.

Esas Ölçü

Birim çember üzerindeki A ve B noktalarıyla oluşan AOB açısının ölçüsü α olsun. k∈Z ve 0°≤α<360° olmak üzere, ölçüsü α+k·360° olan bir açının esas ölçüsü α derecedir. Benzer şekilde k∈Z ve 0≤α<2π olmak üzere, ölçüsü α+k·2π olan bir açının esas ölçüsü α radyandır.

Hesaplama örneği: 1570°'nin esas ölçüsü: 1570°=130°+4·360° olduğundan esas ölçü 130°'dir. −1240°'nin esas ölçüsü: −1240°+4·360°=−1240°+1440°=200° olduğundan esas ölçü 200°'dir (negatif açıya, esas ölçüyü [0°,360°) aralığına getirecek kadar tam tur eklenir).

Uygulama Örneği: Şifre Sistemi

Merkezleri aynı iki çember arasına eşit aralıklarla 20 sayı yerleştirilmiş bir şifre sisteminde, her sayı arası bölme 360°/20=18°'dir. Sistem sırasıyla −54° (3 bölme negatif = geri), 126° (7 bölme pozitif), 18° (1 bölme pozitif), −198° (11 bölme negatif) döndürülerek şifre oluşturulur — her dönme miktarı 18°'ye bölünerek kaç bölme hareket edildiği (ve bu sayede hangi sayının geldiği) bulunur.

Özet

• Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 olan çemberdir; yönlü açılar saat yönünün tersinde pozitif, saat yönünde negatiftir.
• 360°=2π radyan olduğundan derece-radyan dönüşümü D/180°=R/π bağıntısıyla yapılır; π/3 radyan=60°, 135°=3π/4 radyan gibi dönüşümler bu formülle hesaplanır.
• Esas ölçü, bir açının [0°,360°) veya [0,2π) aralığındaki eşdeğerini bulmak için açıya uygun sayıda tam tur (360°·k veya 2π·k) eklenip çıkarılarak elde edilir; örneğin 1570°'nin esas ölçüsü 130°, −1240°'ninki 200°'dir.