11. Sınıf / Matematik

Nicelikler ve Değişimler (3)

Önce konuyu keşfet, ardından öğrendiklerini sorularla pekiştir.

Konu anlatımları

10 konu

Bileşke Fonksiyon Tanımı ve Temel Hesaplama Örnekleri

Bileşke fonksiyon tanımı (y=g(f(x))=(g∘f)(x)), sıcak hava balonu modeli (f(x)=4x+280 sıcaklık, g(x)=7x hacim, h(x)=g(f(x))=28x+1960 bileşke fonksiyon), f(x)=2x-5 ve g(x)=x²-3x+7 için f∘g=2x²-6x+9 ve g∘f=4x²-26x+47 karşılaştırması, bileşke işleminin değişmeli olmaması (f∘g≠g∘f).

Bileşke Fonksiyonun Tanım Kümesi Bulma ve Parametrik Modelleme

g∘f tanımlı olma koşulu (f'nin tanım kümesi + f(x)'in g'nin tanım kümesinde kalması), f:[5,∞)→R f(x)=√(x-5) ve g:(-∞,4]→R g(x)=3√x+5 için g∘f tanım kümesi [5,21] bulma, deniz feneri-gemi mesafe problemi (s=f(d)=√(25+d²), d=g(t)=20t, (f∘g)(t)=√(25+(20t)²)).

Bileşke Fonksiyonların Nitel Özellikleri ve Otoyol Yakıt Tüketimi Modeli

g∘f fonksiyonunun tanım kümesinin iç fonksiyondan (f) miras alınması kuralı; otoyol yakıt tüketimi modeli f(t)=t²/(t+40), g(x)=0,06x, h(t)=(g∘f)(t) fonksiyonunun tam nitel özellik incelemesi (tanım kümesi [0,60], görüntü kümesi [0,9], bire bir, örten, sıfır t=0, artan, minimum/maksimum, işaret).

Bileşke Fonksiyonlarda Artan-Azalan Aralıklar, Maksimum-Minimum ve Sıfır Bulma

f(x)=x-3 ve g(x)=(x+1)²-1 için f∘g=(x+1)²-4 ve g∘f=(x-2)²-1 karesel bileşke fonksiyonlarının artan-azalan aralıkları, minimum değerleri (-4 ve -1) ve sıfırlarının (x=1,-3 ve x=3,1) tam kareye tamamlama yöntemiyle bulunması, karesel bileşke fonksiyon analiz stratejisi.

Bileşke Fonksiyonların Genel Nitel Özellik Kuralları

Kontrol Noktası (PDF 352) genel kuralları: g∘f'nin bire birlik/örtenlik/artan-azalan/tek-çift/maksimum-minimum özelliklerinin f ve g'nin özelliklerinden belirlenmesi; 'f azalan, g artan ⟹ g∘f azalan' önermesinin formal ispatı (7. Örnek).

Bileşke Fonksiyonlarda Ters Fonksiyon İlişkileri ve Tekrarlı Bileşke

(f∘f⁻¹)(x)=x kuralı; involüsyon fonksiyonun (f=f⁻¹) tekrarlı bileşkesinde tekrar sayısının tek/çift olmasına göre sonucun f(x) veya x olması (8. Örnek, 7 ve 8 tekrarlı bileşke), (f∘g)(x)=f(x)+g(x) ve f(3)=5 verildiğinde x yerine g⁻¹(x) yazma stratejisiyle (f∘g⁻¹)(3)=2 bulma (9. Örnek).

Fonksiyonlarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Güneş enerjisi sistemi bağlamı (buzdolabı/kombi/aydınlatma toplam tüketimi), (f+g)(x)=f(x)+g(x) ve (f-g)(x)=f(x)-g(x) tanımı, toplama/çıkarma işleminin tanım kümesinin f ve g'nin tanım kümelerinin kesişimi olması kuralı, f(x)=√(x-1) ve g(x)=√(4-x) için f+g ve f-g'nin tanım kümesinin [1,4] olarak bulunması (10. Örnek).

Fonksiyonların Toplamında Ters Fonksiyon İçeren İleri Problemler

f⁻¹(3x-g(x+1))=4x-5 eşitliğinden f ile bileşke alıp f∘f⁻¹=x kuralıyla sadeleştirme, 3x=f(4x-5)+g(x+1) eşitliğine ulaşma, uygun x=2 değeri seçilerek (f+g)(3)=6 bulma (11. Örnek), ters fonksiyon içeren toplam problemlerinin genel çözüm stratejisi.

Fonksiyonlarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

Kontrol Noktası (PDF 364) dört işlemin genel tanımı (A∩B tanım kümesi, bölmede g(x)≠0 koşulu), f(x)=x² ve g(x)=x için f·g=x³ (yapısal olarak farklı, derece artışı) ve f/g=x (x=0'da tanımsız, sadeleşme) yapısal karşılaştırması (12. Örnek).

Bileşke ve Dört İşlemin Birlikte Kullanımı: Mobil Operatör Ücretlendirme Modeli

Mobil operatör ücretlendirme problemi: süreye bağlı veri kullanımı f(t)=5t, operatör ücret fonksiyonları g(x)=0,2x+150 ve h(x)=0,15x+200, bileşke fonksiyonlar (g∘f)(t)=t+150 ve (h∘f)(t)=0,75t+200, toplam ücret r(t)=1,75t+350 ve fark fonksiyonu k(t)=0,25t-50 (13. Örnek, bileşke+toplama/çıkarma birlikte kullanımı).

BİLGİNİ PEKİŞTİR