11. Sınıf / Matematik

Nicelikler ve Değişimler (2)

Önce konuyu keşfet, ardından öğrendiklerini sorularla pekiştir.

Konu anlatımları

14 konu

Üstel Referans Fonksiyon Tanımı ve Gerçek Yaşam Modelleri

f(x)=aˣ (a>0, a≠1) üstel referans fonksiyon tanımı, taban koşulunu sağlayan parametre değerlerini bulma örnekleri, e sayısı (≈2,7182), bakteri çoğalması (f(t)=2ᵗ) ve radyoaktif yarılanma (h(t)=256·(1/2)^(t/5)) worked example'ları.

Üstel Referans Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Tanım/görüntü kümesi (R, R⁺), bire bir ve örten olma, sıfır yokluğu ve daima pozitif işaret, taban ile artan/azalan ilişkisi (a>1 artan, 0<a<1 azalan), tek/çift olmama; f(x)=2ˣ'in [-1,3] aralığında tam nitel özellik incelemesi (max=8, min=1/2).

Üstel Fonksiyonlarda Dönüşümler

g(x)=k·aᵐˣ⁺ʳ+s genel dönüşüm formu ve parametrelerin (k,m,r,s) etkisi (asimptot y=s'ye kayması dahil), bileşik dönüşüm örnekleri (r(x)=2·4ˣ-3), yatay dönüşüm örneği (k(x)=6^(3x-1)), t(x)=2ˣ-4'ün sıfırı (x=2), bileşik faiz karşılaştırma uygulaması (Plan A vs Plan B).

Genel Üstel Dönüşüm Formülleri ve Nüfus Modeli

g(x)=k·aᵐˣ⁺ʳ+s formunun dört adımlı oluşturulması, genel nitel özellikler (tanım kümesi R, görüntü kümesi k işaretine göre (s,∞) veya (-∞,s), her zaman bire bir), a/m/k işaretlerine göre artan-azalan tablosu, nüfus modeli (f(t)=100000·1,02ᵗ) ve balık popülasyonu/su seviyesi karşılaştırmalı modeli.

Logaritmik Fonksiyon Tanımı ve Üstel Fonksiyonla İlişkisi

Bağımlı-bağımsız değişken yer değiştirmesiyle ters ilişki oluşturma, logaritmik referans fonksiyon tanımı f⁻¹(x)=logₐx, doğal logaritma ln x, üstel/logaritmik fonksiyonların y=x simetrisi, ters fonksiyon bulma worked example'ları (f(x)=2ˣ, h(x)=2·5ˣ⁺¹-3), artan/azalan ilişkisinin ters almada korunması.

Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Yaşam Uygulamaları

Karbon-14 fosil tarihleme (A(t)=A₀·2^(-t/5730), kaplumbağa örneği ≈9053 yıl), desibel ölçeği (L=10log₁₀(I/10⁻¹²), 70dB→I=10⁻⁵ W/m²), pH ölçeği (pH=-log₁₀[H⁺]), Richter ölçeği (R=log₁₀d, 10⁸ mikron→R=8), antibiyotik atılım modeli (M(t)=M₀·0,6ᵗ, 216mg→3 saat).

Logaritmik Referans Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Tanım/görüntü kümesi (R⁺, R), onluk logaritma tanımı, taban ile artan/azalan ilişkisi, sıfır=1 ve işaret aralıkları, bire bir/örten olma, f(x)=log₄x'in [1,16] aralığında tam nitel özellik incelemesi (max=2, min=0), kumsal eğimi ve dosya sıkıştırma gerçek yaşam modelleri.

Logaritmanın İşlem Özellikleri ve İspatları

Temel logaritma özellikleri listesi (logₐa=1, logₐ1=0, çarpım/bölüm/kuvvet kuralları, a^(logₐb)=b, taban değiştirme formülü), logₐ(xy)=logₐx+logₐy'nin cebirsel ispatı, log₈2+log₅5=4/3 ve log5≈0,699 hesaplama örnekleri, 7^x·x^(log₇5)=50 denklemi çözümü (x=49).

Logaritma Özellikleriyle Gerçek Yaşam ve Cebirsel Problemler

İki deprem büyüklüğü karşılaştırması (d₁/d₂=8×10⁶, R₁-R₂≈6,9), geometrik uzunluk problemi (log3+log4=log12≈1,079 cm), karma logaritma/ln ifadeleri sadeleştirme, parametrik problemler (log₅2=m, log₃5=n ile log₅12=2m+1/n ifadesi), problem çözme stratejisi.

Logaritmik Fonksiyonlarda Dönüşümler

g(x)=k·logₐ(mx+r)+s genel dönüşüm formu ve dört adımlı grafik oluşturma süreci (yatay öteleme, yatay sıkıştırma/germe, dikey germe, dikey öteleme), tanım kümesi (m işaretine göre), görüntü kümesi R, bire birlik, artan/azalan koşulları; h(x)=4log₂(x-1) (tanım kümesi (1,∞), sıfır x=2), h(x)=2log₃x (işaret ve artanlık), h(x)=lnx-2 (görüntü kümesi R, bire birlik ispatı) worked example'ları; f(x)=log₃x'ten türetilen g(x)=2log₃x, h(x)=log₃x+3, r(x)=2log₃x+3 örneği.

Logaritmik Fonksiyonlarda Yatay Dönüşümler ve Gerçek Yaşam Uygulaması

f(x)=log₅x'ten türetilen g(x)=log₅(2x) ve h(x)=log₅(2x-1) örneğiyle yatay sıkıştırma+öteleme birlikte uygulaması (gerçek öteleme miktarının r/m oranına bağlı olması); ses şiddeti-ses düzeyi modeli f(x)=10log(x/10⁻¹²) ile [1/100,100] tanım aralığında [100,140] görüntü kümesi, bire bir ama örten değil, sıfır yok, daima pozitif, artan, max=140 (x=100), min=100 (x=1/100) nitel özellik incelemesi.

Üstel ve Logaritmik Modellerle Karşılaştırmalı Problem Çözme

Kitap satış stratejileri karşılaştırması: p(t)=log₂t referans fonksiyonundan türetilen f(t)=200log₂t+400 ve g(t)=100log₂t+700 fonksiyonlarının parametre belirleme yöntemiyle bulunması, f(t)=g(t) denklemiyle eşit satış zamanının (t=8) bulunması, f(t)>g(t) eşitsizliğinin çözülmesi (Ç=(8,∞)), üç aşamalı modelleme stratejisi ve gerçek yaşamda benzer karşılaştırmalı modelleme örnekleri.

Salgın Modellemesinde Üstel Büyüme ve Logaritmik Azalış

SIR/SEIR epidemik modellerin yapısı, parçalı fonksiyonla modelleme (P(t)=P(0)eʳᵗ, t<t₀; P(t)=150-20lnt, t≥t₀), P(0)=40, r=1/80 için 20. gün hasta sayısı hesaplama (P(20)≈51), f(t)=40e^(t/80) ve g(t)=150-20lnt fonksiyonlarının kesişimiyle pik süresinin (≈48 gün) grafik yöntemiyle bulunması, cebirsel/grafik yöntem seçim stratejisi karşılaştırması.

Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizliklerin Çözüm Yöntemleri

Kontrol Noktası genel kuralları (üstel/logaritmik denklem ve eşitsizlik çözüm kuralları, taban büyüklüğüne göre yön korunması/değişmesi); 5^(x+1)-3=17 (x=log₅4), (1/3)^(x+14)>(1/27)^(7-2x) (Ç=(-∞,1)), log[5log(x+3)]-1=0 (x=97), log₃x-4≤0 (Ç=(0,81]) worked example'ları; 2<log₂(x+1)<3 (Ç=(3,7)) ve log_(1/2)(x+3)≥-4 (Ç=(-3,13]) logaritmik eşitsizlik örnekleri.

BİLGİNİ PEKİŞTİR