Logaritmik Fonksiyonlarda Dönüşümler

Dönüşüm Sürecinin Dört Adımı

f: R⁺→R, f(x)=logₐx (a>0 ve a≠1) şeklinde tanımlı logaritmik referans fonksiyondan türetilen g(x)=k·logₐ(mx+r)+s (k,m,r,s∈R, k≠0, m≠0) fonksiyonunun grafiği, üstel ve trigonometrik fonksiyonlarda olduğu gibi dört sıralı adımla elde edilir:

1. Yatay öteleme: f(x)=logₐx referans fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca negatif yönde r birim ötelenerek b(x)=logₐ(x+r) fonksiyonunun grafiği elde edilir.
2. Yatay sıkıştırma/germe: b(x)=logₐ(x+r) fonksiyonunun grafiği, m>1 olduğunda yatay sıkıştırılarak, m<1 olduğunda yatay gerilerek c(x)=logₐ(mx+r) fonksiyonunun grafiği elde edilir.
3. Dikey germe/yansıma: c(x)=logₐ(mx+r) fonksiyonunun her değeri k katına çıkarılarak d(x)=k·logₐ(mx+r) fonksiyonunun grafiği elde edilir.
4. Dikey öteleme: d(x)=k·logₐ(mx+r) fonksiyonunun grafiği, y ekseni boyunca pozitif yönde s birim ötelenerek nihai g(x)=k·logₐ(mx+r)+s fonksiyonunun grafiği elde edilir.

Bu sıralama, üstel referans fonksiyondan türetilen g(x)=k·aᵐˣ⁺ʳ+s fonksiyonunun dönüşüm sürecine yapısal olarak birebir benzer — tek fark, logaritmik fonksiyonda öteleme ve sıkıştırma adımlarının argüman (x) üzerinde, üstel fonksiyonda ise üs üzerinde uygulanmasıdır.

g(x)=k·logₐ(mx+r)+s Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

Bu dönüşümler sonucunda elde edilen g fonksiyonunun nitel özellikleri şu genellemelere bağlanır:

• Tanım kümesi: m>0 için (−r/m, ∞), m<0 için (−∞, −r/m)'dir. Bu, logₐ(mx+r) ifadesinin tanımlı olması için mx+r>0 koşulunun çözülmesinden gelir.
• Görüntü kümesi: her zaman R'dir (referans fonksiyonun görüntü kümesi R olduğundan, dikey germe ve öteleme görüntü kümesinin tüm gerçek sayılar olma özelliğini değiştirmez).
• Bire birlik: g fonksiyonu her zaman bire birdir.
• Artan/azalan durumu: a>1 ve m>0 ise ya da 0<a<1 ve m<0 ise g artan fonksiyondur; a>1 ve m<0 ise ya da 0<a<1 ve m>0 ise g azalan fonksiyondur. Bu kural, tabanın (a) referans fonksiyonun artan/azalan yönünü, m'nin işaretinin ise bu yönü koruyup korumadığını (m>0 korur, m<0 tersine çevirir) belirlediğini gösterir.

Hesaplama Örneği: Tanım Kümesi ve Sıfır Bulma

h(x)=4·log₂(x−1) fonksiyonunun tanım kümesi ve sıfırı incelensin: f(x)=log₂x referans fonksiyonu R⁺'da tanımlı olduğundan, h(x)=4·f(x−1) fonksiyonunun tanımlı olması için x−1>0, yani x>1 olması gerekir. Buna göre h fonksiyonunun tanım kümesi (1,∞)'dur. Sıfırını bulmak için h(x)=0 denklemi çözülür: 4log₂(x−1)=0 ⟹ log₂(x−1)=0 ⟹ x−1=2⁰=1 ⟹ x=2. Bu örnek, dikey germe katsayısının (k=4) sıfır noktasını değiştirmediğini, yalnızca yatay ötelemenin (r=−1) sıfır noktasını kaydırdığını gösterir.

Hesaplama Örneği: İşaret ve Artanlık İncelemesi

h(x)=2·log₃x fonksiyonunun işareti ve artanlık durumu incelensin: referans fonksiyon f(x)=log₃x, tabanı 3>1 olduğundan (0,1) aralığında negatif, (1,∞) aralığında pozitiftir; k=2>0 olduğundan dikey germe işareti değiştirmez, dolayısıyla h fonksiyonu da (0,1) aralığında negatif, (1,∞) aralığında pozitiftir. Taban 3>1 ve m=1>0 olduğundan yukarıdaki genellemeye göre h fonksiyonu artandır.

Hesaplama Örneği: Görüntü Kümesi ve Bire Birlik İspatı

h(x)=ln x−2 fonksiyonunun görüntü kümesi ve bire birliği incelensin: f logaritmik referans fonksiyonunun (bu durumda doğal logaritma, taban e) görüntü kümesi R olduğundan ve h(x)=f(x)−2 şeklinde yalnızca dikey öteleme uygulandığından, h fonksiyonunun görüntü kümesi de R'dir. Bire birliğin ispatı: ∀x₁,x₂∈R⁺ için x₁≠x₂ olsun. h(x₁)=ln(x₁)−2 ve h(x₂)=ln(x₂)−2'dir. Doğal logaritma fonksiyonu bire bir olduğundan x₁≠x₂ ⟹ ln(x₁)≠ln(x₂) ⟹ ln(x₁)−2≠ln(x₂)−2, yani h(x₁)≠h(x₂) elde edilir. Bu, h fonksiyonunun bire bir olduğunu ispatlar.

Hesaplama Örneği: Aynı Referans Fonksiyondan Üç Farklı Dönüşüm

f: R⁺→R, f(x)=log₃x referans fonksiyonundan türetilen g(x)=2·f(x), h(x)=f(x)+3 ve r(x)=2·f(x)+3 fonksiyonları için cebirsel temsiller ve grafik ilişkisi incelensin.

Cebirsel temsiller: g(x)=2·f(x) olduğundan g(x)=2log₃x; h(x)=f(x)+3 olduğundan h(x)=log₃x+3; r(x)=2·f(x)+3 olduğundan r(x)=2log₃x+3.

Grafik ilişkisi: r fonksiyonunun grafiği iki aşamada elde edilir. Önce f fonksiyonunun görüntü kümesindeki her değer 2 katına çıkarılarak g(x)=2log₃x fonksiyonunun grafiği (Grafik 2) elde edilir; ardından bu grafik y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim ötelenerek r(x)=2log₃x+3 fonksiyonunun nihai grafiği (Grafik 3) elde edilir. Bu örnek, birden fazla dönüşümün (dikey germe + dikey öteleme) aynı referans fonksiyon üzerinde sırayla nasıl bileştirildiğini somut biçimde gösterir.

Özet

• g(x)=k·logₐ(mx+r)+s fonksiyonunun grafiği dört adımda elde edilir: önce r birim yatay öteleme, sonra m katsayısıyla yatay sıkıştırma/germe, sonra k katsayısıyla dikey germe, son olarak s birim dikey öteleme.
• g fonksiyonunun tanım kümesi m'nin işaretine bağlıdır (m>0 için (−r/m,∞), m<0 için (−∞,−r/m)); görüntü kümesi her zaman R'dir ve fonksiyon her zaman bire birdir.
• Artan/azalanlık, tabanın (a) 1'den büyük/küçük olması ile m'nin işaretinin birleşimine bağlıdır: a>1,m>0 veya 0<a<1,m<0 ⟹ artan; a>1,m<0 veya 0<a<1,m>0 ⟹ azalan.
• Somut örnekler: h(x)=4log₂(x−1)'in tanım kümesi (1,∞) ve sıfırı x=2'dir; h(x)=2log₃x (0,1)'de negatif, (1,∞)'da pozitif ve artandır; h(x)=lnx−2'nin görüntü kümesi R'dir ve bire birliği doğrudan ispatlanabilir.
• f(x)=log₃x'ten türetilen g(x)=2log₃x ve r(x)=2log₃x+3 örneği, dikey germe ve dikey ötelemenin aynı fonksiyon üzerinde art arda nasıl uygulandığını gösterir.