Üçgenin Kenarortayları, Kenar Orta Dikmeleri ve Yükseklikleri

Üçgenin Kenarortayları ve Ağırlık Merkezi

Kenarortay, bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Bu kavram denge ve simetri sağlayıcı bir araç olarak kullanılır; köprü tasarımlarında kenarortay prensiplerinden yararlanılarak yüklerin eşit dağıtılması sağlanır, gökdelenler gibi büyük yapılarda ağırlık merkezi ve statik denge kenarortay hesaplamalarıyla belirlenir.

Bir üçgenin kenarortayları üçgenin içinde bir noktada kesişir ve bu nokta üçgenin ağırlık merkezidir. ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylar ve bu üç kenarortayın kesişim noktası G (ağırlık merkezi) olmak üzere:

$$\frac{AG}{GD} = \frac{BG}{GE} = \frac{CG}{GF} = 2$$

Yani ağırlık merkezi her bir kenarortayı köşeye yakın parçası uzak parçasının 2 katı olacak şekilde 2:1 oranında böler.

Dik üçgende özel durum: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir. ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [AC] ve BC kenarına ait kenarortay [AD] olmak üzere |AD| = |BD| = |CD| dir (kenarortay, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapına eşittir).

Örnek: Eşit ayaklı bir pergel açıldığında oluşan üçgen ikizkenar üçgendir ve ikizkenar üçgenin ağırlık merkezi tabana ait yükseklik (aynı zamanda kenarortay) üzerinde bulunur. Ayaklar arası uzaklık 14 birim, ağırlık merkezinin kâğıda (tabana) uzaklığı 8 birim olduğunda, tabana ait yükseklik üzerinde köşeye uzaklık 2×8=16 birim olur (ağırlık merkezi köşeye yakın parçayı 2 kat uzun tutar); Pisagor teoreminden ayak uzunluğu √(7²+24²) = 25 birim bulunur. Ayaklar arası uzaklık 40 birime çıkarıldığında tabanda oluşan yarı parçalar 20 birim olur, hipotenüs 25 ve bir dik kenarı 20 olan üçgende Pisagor teoreminden yükseklik √(25²−20²) = 15 birim bulunur; ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı tabana uzaklığının 2 katı olduğundan ağırlık merkezinin tabana (kâğıda) uzaklığı 15/3 = 5 birimdir.

Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri ve Çevrel Çember

Bir tabloyu bir çiviye dengeli asmak için ipin iki ucunun düşey doğrultuya göre simetrik noktalara tutturulması gerekir; bu ve benzeri simetri/denge durumlarında kenar orta dikme bilgisinden faydalanılır. Kenar orta dikme, bir kenarın orta noktasından o kenara dik olarak çizilen doğrudur.

Bir üçgenin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir; bu nokta üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Bir üçgenin üç köşesinden de geçen çembere üçgenin çevrel çemberi denir. ABC üçgeninde [OD], [OE] ve [OF] kenar orta dikmeler olmak üzere O noktası çevrel çemberin merkezidir ve çevrel çemberin yarıçapı R olmak üzere:

$$|OA| = |OB| = |OC| = R$$

Örnek: Bir odaya asılan ikizkenar üçgen biçimindeki iki eş tablodan biri ağırlık merkezi (G) noktasından, diğeri çevrel çemberinin merkezi (O) noktasından asılmıştır. G ve O noktalarının zemine uzaklıkları sırasıyla 160 cm ve 200 cm olarak veriliyor. Tablonun taban kenar uzunluğu 120 cm olduğundan yarısı 60 cm'dir. |GH| = n cm denirse, ağırlık merkezinin kenarortayı 2:1 oranında bölmesinden |GL| = 2n/3 cm bulunur (H köşe, L taban orta noktası); O çevrel çemberin merkezi olduğundan kenar orta dikme özelliğiyle |OM| = |OT| = n+40 cm ve |OR| = 2n−40 cm elde edilir. ORM dik üçgeninde Pisagor teoreminden (n+40)² = (2n−40)² + 60² denklemi kurulur; bu denklem çözüldüğünde n = 60 (n = 20 çözümü |OR| = 0 vereceğinden geçersizdir) bulunur ve tabloların yüksekliği 3n = 180 cm olarak hesaplanır.

Üçgenin Yükseklikleri

Yükseklik, bir köşeden karşısındaki kenara veya bu kenarın uzantısına dik olarak çizilen doğru parçasıdır. Bir üçgenin en temel yardımcı elemanlarından biri olan yükseklik, günlük hayatta güzergah/yol seçimi gibi pratik problemlerde sık sık karşımıza çıkar.

Bir üçgenin yükseklikleri aynı noktada (diklik noktası / ortosentr) kesişir. Yüksekliklerin kesim noktasının üçgene göre konumu, üçgenin açı türüne bağlıdır:

• Dar açılı üçgende: yüksekliklerin kesim noktası üçgenin iç bölgesindedir.
• Dik açılı üçgende: yüksekliklerin kesim noktası üçgenin dik açılı köşesindedir.
• Geniş açılı üçgende: yüksekliklerin kesim noktası üçgenin dış bölgesindedir.

Örnek: Aslı ve Berke, evlerinden parktaki bir çeşmede buluşmak için en kısa yoldan (yani yükseklik doğrultusunda) yürümüşlerdir; Aslı 60 metre, Berke 100 metre yürümüştür. Buluştukları çeşme (Ç), ABH üçgeninin AD ve BE yüksekliklerinin kesim noktasıdır. Çeşme Aslı'nın evine ve 29 Ekim Caddesi'ne eşit uzaklıkta olduğundan |ÇD| = 60 m'dir. BÇD dik üçgeninde Pisagor teoreminden 100² = 60² + |BD|² olup |BD| = 80 m bulunur. m(EBH) = m(DAH) olması ve karşılıklı açıların eşitliğinden BÇD ile AHD üçgenlerinin benzer olduğu gösterilir; buradan oran-orantı ile |AH| = 150 metre (Aslı'nın evinin huzurevine uzaklığı) ve |DH| = 90 metre bulunur, Berke'nin evinin huzurevine uzaklığı |BH| = 80+90 = 170 metredir.

Özet

• Kenarortay (köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçası), üçgenin ağırlık merkezinde 2:1 oranında (köşeye yakın:uzak) kesişir; dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
• Kenar orta dikmeler (kenarın orta noktasından kenara dik çizilen doğrular) üçgenin çevrel çemberinin merkezinde kesişir; bu merkez üçgenin üç köşesine de eşit uzaklıktadır (|OA|=|OB|=|OC|=R).
• Yükseklikler (köşeden karşı kenara/uzantısına dik çizilen doğru parçaları) üçgenin diklik noktasında kesişir; bu noktanın konumu dar açılı üçgende iç bölgede, dik açılı üçgende dik köşede, geniş açılı üçgende dış bölgededir.