Üçgenin Açıortayları

Üç yolun arasında kalan üçgen biçimindeki bir alana bir anıt yapılırken anıtın üç yola da eşit uzaklıkta olmasını sağlamak için üçgenin açıortayları kullanılır. Benzer şekilde üçgen biçiminde bir oda tasarımında en uygun ışıklandırmayı sağlamak için lambaların yerleşimi belirlenirken oda köşelerinin açıortaylarından faydalanılır. Açıortaylar, denge ve simetriyi sağlayarak en uygun konumun belirlenmesine yardımcı olur; bu nedenle matematiksel kavramlar yalnızca teorik bilgi olarak kalmaz, mimarlık, şehir planlaması ve iç mekân tasarımı gibi alanlarda da pratik çözümler sunar.

İç Açıortay ve Açıortay Uzunluk Oranı Teoremi

Bir üçgende bir iç açıya ait açıortayın kestiği karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının oranı, o açıyı oluşturan kenarların uzunluklarının oranına eşittir.

Teorem: ABC üçgeninde [AN], BAC açısının açıortayı olmak üzere:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BN}{NC}$$

Açıortay Üzerindeki Bir Noktanın Açının Kollarına Uzaklığı

Bir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır. [AH, BAC açısının açıortayı olmak üzere açıortay üzerindeki G noktasından açının kollarına indirilen [GF] ve [GE] dikmeleri için |GF| = |GE| ve |AF| = |AE| dir. Bu özelliğin tersi de doğrudur: bir açının iç bölgesinde alınan bir nokta açının kollarına eşit uzaklıkta ise bu nokta o açının açıortayı üzerinde bulunur.

Üçgenin İç Teğet Çemberi

Bir üçgenin iç açıortayları, üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta bir noktada kesişir. Bu kesişim noktası, üçgenin iç bölgesinde olup üçgenin tüm kenarlarına teğet olan çemberin (iç teğet çemberin) merkezidir.

Örnek: Üç yolla çevrili üçgen biçimindeki bir parkın içinde üç yola da eşit uzaklıktaki D noktasında bir anıt bulunmaktadır. Bu, D noktasının üçgenin iç teğet çemberinin merkezi (iç açıortayların kesişim noktası) olduğu anlamına gelir; buna göre [AD], [BD] ve [CD] açıortaydır. Parkın köşelerindeki üç arkadaş sırasıyla birbirlerine doğrudan yürüdüğünde: Burcu'nun dönüş açısı 140° olduğundan m(ABD) = m(CBD) = 40°; Ada'nın dönüş açısı 165° olduğundan m(BAD) = m(CAD) = 15°'dir. Üçgenin iç açıları toplamından 2(40°) + 2(15°) + m(ACB) = 180° eşitliğinden m(ACB) = 70° bulunur, buradan m(ACD) = m(BCD) = 35° olur ve Cenk'in Burcu'ya gitmesi için en az 180° − 35° = 145° dönmesi gerekir.

Açıortayların kesişim açısı formülü: İki iç açıortayın (A ve B köşelerinden çizilen) kesişim noktası K olmak üzere, m(AKB) = 90° + m(C)/2 dir. Bu, üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu ve K noktasındaki üçgende açı toplamının 180° olduğu bilgisinden cebirsel olarak türetilir.

Dış Açıortay ve Uzunluk Oranı Teoremi

Bir üçgenin bir dış açısına ait açıortayın, uzantısının kestiği kenarda oluşturduğu parçaların oranı, üçgenin diğer iki kenarının oranına eşittir.

Teorem: Bir ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı BC kenarının uzantısını E noktasında kesiyorsa:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{EB}{EC}$$

Örnek: A noktasından yeşil yol üzerinde 4 km ilerleyince kırmızı ve mavi yollara eşit uzaklıktaki P noktasına, 24 km daha ilerleyince ikinci kez eşit uzaklıktaki R noktasına ulaşılıyor. P, C köşesine ait iç açıortay üzerinde; R ise dış açıortay üzerindedir. |BP| = x, |BR| = (24−x) olmak üzere iç açıortay oranından CB/CA = x/4, dış açıortay oranından CB/CA = (24−x)/28 elde edilir. Bu iki ifade eşitlenirse x/4 = (24−x)/28 denkleminden x = 3 bulunur ve |AB| = 4 + 3 = 7 km olarak hesaplanır.

Üçgenin Dış Teğet Çemberi

Bir üçgende iki dış açıya ait dış açıortaylar ile bu açılara komşu olmayan üçüncü köşenin iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin dış bölgesinde olup üçgenin köşelerinden geçen doğrulara teğet olan çemberin (dış teğet çemberin) merkezidir. Bir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır (her köşeye karşılık bir tane).

Uygulama örneği: Bir ayna deneyinde, ışık kaynağı A noktasından gönderilen ışın bir aynaya çarpıp yansıyarak C noktasına ulaşmaktadır; aynaya gelen ışının ayna ile yaptığı açı, yansıyan ışının ayna ile yaptığı açıya eşittir. Ayna farklı konumlara getirildiğinde ışının çarptığı nokta (B veya E) değişir; bu geometrik kurulum, [AC] doğrusuyla oluşan üçgende dış açıortay oran teoreminin (AB/AC = EB/EC biçiminde) doğrudan uygulanmasını gerektiren bir problem türüdür.

Özet

• İç açıortay teoremi: bir üçgende bir iç açının açıortayı karşı kenarı, o açıyı oluşturan kenarların oranıyla aynı oranda böler (AB/AC = BN/NC); açıortay üzerindeki her nokta açının kollarına eşit uzaklıktadır.
• Bir üçgenin üç iç açıortayı tek noktada (iç teğet çemberin merkezinde) kesişir; bu merkez üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır ve iki iç açıortayın kesişim açısı m(AKB) = 90° + m(C)/2 formülüyle hesaplanır.
• Dış açıortay teoremi: bir dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısını, üçgenin diğer iki kenarının oranıyla aynı oranda böler (AB/AC = EB/EC); bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü köşenin iç açıortayı, dış teğet çemberin merkezinde kesişir ve her üçgenin üç farklı dış teğet çemberi vardır.