Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Bir mimarın çizdiği bina planındaki boyut ile binanın gerçek boyutu arasındaki oran, bir sanatçının çizdiği tasarımın boyutu ile tasarımın gerçek boyutu arasındaki oran gibi hayatın birçok alanında benzerlik kavramı ile karşılaşılır. Benzerlik kavramı yapılar arasında oransal ilişkiler kurmayı sağlar; dik üçgenlerde bu oransal ilişkiler trigonometrik oranlar olarak adlandırılır.

Dik Üçgende Trigonometrik Oranların Tanımı

Karşılıklı bütün kenar uzunlukları orantılı olan dik üçgenlerin, orantılı kenarlarını gören açılarının ölçüleri birbirine eşittir. Bir dik üçgenin tüm kenar uzunluklarının aynı oranda değişimi üçgenin açılarının ölçüsünü değiştirmez; bu nedenle bir dar açıya göre kenar uzunluklarının oranı, üçgenin büyüklüğünden bağımsız olarak sabittir.

Bir dik üçgende α ölçüsündeki bir dar açının trigonometrik oranları şöyle tanımlanır:

$$\sin\alpha = \frac{\text{Karşı dik kenar uzunluğu}}{\text{Hipotenüs uzunluğu}}$$

$$\cos\alpha = \frac{\text{Komşu dik kenar uzunluğu}}{\text{Hipotenüs uzunluğu}}$$

$$\tan\alpha = \frac{\text{Karşı dik kenar uzunluğu}}{\text{Komşu dik kenar uzunluğu}}$$

$$\cot\alpha = \frac{\text{Komşu dik kenar uzunluğu}}{\text{Karşı dik kenar uzunluğu}}$$

Örnek: 3-4-5 dik üçgeninde (hipotenüs 5), bir dar açı için sin = 4/5, cos = 3/5, tan = 4/3, cot = 3/4 olarak bulunur. 5-12-13 dik üçgeninde ilgili açı için sin = 5/13, cos = 12/13, tan = 5/12, cot = 12/5 bulunur. 8-15-17 dik üçgeninde ise sin = 8/17, cos = 15/17, tan = 8/15, cot = 15/8 bulunur. Bu üç farklı üçgende elde edilen değerler, üçgenin boyutundan bağımsız olarak yalnızca açının ölçüsüne bağlıdır.

Uygulama Örneği: Deniz Feneri Problemi

Kıyı şeridindeki A ve B noktalarından bir ada üzerindeki D noktasına bakan açılar sırasıyla DAB = 22° ve DBA = 31°dir. A'dan B'ye 13 m/dk hızla 50 dakikada yürünerek gidildiğine göre AB = 13 × 50 = 650 m'dir. [AB] = [DH] olacak şekilde D'den H ayağına dikme indirilir. DAH dik üçgeninde tan22° = DH/AH = 4/10 olduğundan DH = 4k, AH = 10k'dır. m(DBH) = 90° − 31° = 59° olduğundan DHB dik üçgeninde cot59° = DH/BH = 6/10 ve DH = 4k olduğundan BH = 20k/3 bulunur. 10k + 20k/3 = 650 denkleminden k = 39 bulunur ve deniz fenerinin sahile uzaklığı DH = 4k = 156 metre olarak hesaplanır.

Trigonometrik Özdeşlikler

Hipotenüs uzunluğu 1 birim olan bir dik üçgende, x açısına göre dik kenar uzunlukları doğrudan trigonometrik oranlara eşit olur: bir dik kenar sinx, diğeri cosx birim uzunluğundadır. Bu ilişkiden ve Pisagor teoreminden yararlanılarak aşağıdaki temel trigonometrik özdeşlikler elde edilir (α bir dar açı ölçüsü olmak üzere):

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$$

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

$$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

$$\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)$$

$$\tan\alpha = \cot(90° - \alpha)$$

Örnek Uygulama: "Sin" ve "Kos" adlı iki metal tel üreten bir firma, müşterinin seçtiği x açısına göre sırasıyla sinx ve cosx birim uzunluğunda tel üretmektedir. Tellerin uzunluk farkı sinx − cosx = 1/2 olarak veriliyor ve bu tellerle sinx × cosx kenarlı bir dikdörtgen çerçeve yapılıyor. Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa (sinx − cosx)² = 1/4, yani sin²x − 2·sinx·cosx + cos²x = 1/4 olur. sin²x + cos²x = 1 olduğundan 1 − 2·sinx·cosx = 1/4, buradan 2·sinx·cosx = 3/4 ve sinx·cosx = 3/8 bulunur. Dikdörtgen şeklindeki çerçevenin kapladığı alan sinx·cosx olduğundan, çerçevenin alanı 3/8 milimetrekaredir.

Özel Açıların (30°, 45°, 60°) Trigonometrik Oranları

Bir kenar uzunluğu 2 cm olan eşkenar üçgende, bir kenarın orta noktasından karşı köşeye çizilen yükseklik üçgeni iki eş dik üçgene böler; bu dik üçgende 30° ve 60°lik açılar oluşur ve kenar uzunlukları 1, √3 ve 2 olarak bulunur. Dik kenar uzunlukları eşit (3 cm) bir ikizkenar dik üçgende ise iki açı da 45°dir ve hipotenüs kenar uzunluğunun √2 katıdır. Bu iki yardımcı üçgenden yararlanılarak 30°, 45° ve 60°lik açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri elde edilir:

Örnek: Zeminden 1,2 m yükseklikte kırılan bir direk, kırılan parçası zeminle 30°lik açı yaparak devrilmiştir. ABC dik üçgeninde sinC = AB/AC, sin30° = 1/2 = 1,2/AC olduğundan AC = 2,4 m bulunur; direğin kırılmadan önceki uzunluğu AB + AC = 1,2 + 2,4 = 3,6 metredir.

Özet

• Dik üçgende bir dar açının trigonometrik oranları (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) karşı/komşu dik kenar ve hipotenüs uzunluklarının oranlarıyla tanımlanır ve üçgenin büyüklüğünden bağımsız, yalnızca açının ölçüsüne bağlıdır.
• Temel trigonometrik özdeşlikler sin²α+cos²α=1, tanα·cotα=1, tanα=sinα/cosα, cotα=cosα/sinα, sinα=cos(90°−α), tanα=cot(90°−α) şeklindedir ve hipotenüsü 1 birim olan dik üçgenden ve Pisagor teoreminden türetilir.
• 30°, 45° ve 60°lik özel açıların trigonometrik değerleri, eşkenar üçgen ve ikizkenar dik üçgen yardımıyla kesin kesirli/köklü ifadeler olarak hesaplanabilir ve mühendislik/günlük hayat problemlerinde (eğim, direk yüksekliği, iş hesaplama gibi) doğrudan uygulanır.