Birim Çember, Yönlü Açı ve Geniş Açıların Trigonometrik Oranları

Dik üçgende trigonometrik oranlar yalnızca dar açılar (0° ile 90° arası) için tanımlanır. Geniş açıların (90°den büyük açılar) trigonometrik oranlarını bulabilmek için farklı bir araç gerekir: bu araç birim çemberdir.

Birim Çember

Dik koordinat sisteminde merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember üzerinde başlangıç kolu x ekseni olan bir açı çizildiğinde, açının diğer kolunun çemberi kestiği noktanın koordinatları ile o açının trigonometrik oranları arasında doğrudan bir ilişki vardır.

30°, 45° ve 60°lik açılar için birim çember üzerinde oluşturulan dik üçgenlerden yararlanılarak, çemberi kesen noktanın koordinatları ile sinüs ve kosinüs değerleri arasındaki ilişki belirlenmiştir. Örneğin 30°lik açı için birim çemberi kesen B noktasının koordinatları (√3/2, 1/2) olup bu değerler doğrudan cos30° = √3/2 ve sin30° = 1/2 değerlerine karşılık gelir. Benzer şekilde 45° için L noktası ve 60° için N noktası incelenerek cos45°, sin45°, cos60°, sin60° değerleri bulunur.

Genel kural: Birim çember üzerinde, başlangıç kolu x ekseni olan ve x eksenini pozitif yönde θ derecelik açıyla kesen bir açının diğer kolunun çemberi kestiği noktanın koordinatları (cosθ, sinθ) şeklindedir. Bu ilişki yalnızca dar açılar için değil, 90°den büyük (geniş) açılar için de geçerlidir — bu, trigonometrik oranların tanım kümesini dar açılarla sınırlı olmaktan çıkarıp tüm açılara genişletir.

Geniş Açıların Trigonometrik Değerleri

120°lik bir açı için birim çember üzerindeki B noktasının koordinatları (−1/2, √3/2) olarak verilmiştir; buradan cos120° = −1/2 ve sin120° = √3/2 bulunur. Bu örnekten görüldüğü gibi, geniş açılarda kosinüs değeri negatif olabilirken sinüs değeri pozitif kalabilir — bu, birim çemberin ikinci bölgesinde (90°-180° arası) x koordinatının negatif, y koordinatının pozitif olmasından kaynaklanır. Benzer yöntemle 135° ve 150°lik açıların da birim çember üzerindeki koordinatlarından sinüs ve kosinüs değerleri bulunabilir.

Örnek: Bir kutu yatay zeminde, yer değiştirme doğrultusuyla 120°lik açı yapacak şekilde 60 N büyüklüğünde kuvvet uygulanarak 4 metre hareket ettiriliyor. Yapılan iş W = F·d·cosθ formülüyle hesaplanır: W = 60 × 4 × cos120° = 240 × (−1/2) = −120 joule. İş negatif çıktığından sistemden enerji çekildiği anlaşılır.

Yönlü Açı

Birim çemberde ortak köşesi orijin olan açıların yönü, oluşum biçimine göre pozitif veya negatif olarak adlandırılır: bir ışın orijini merkez alarak saat yönünün tersine dönerse pozitif yönlü açı, saat yönünde dönerse negatif yönlü açı oluşur.

Örnek: Dairesel bir pistte A noktasından ters yönlerde harekete başlayan iki bisikletliden Beril, B noktasına ulaştığında AOB açısı 70°; Cansu, C noktasına ulaştığında AOC açısı 150° olarak ölçülmüştür. Beril'in konumu x ekseniyle pozitif yönde 70°lik açı, Cansu'nun konumu ise x ekseniyle negatif yönde 150°lik açı yapmaktadır. Beril'in C noktasına ulaşması için pozitif yönde 140° (360° − 70° − 150°) veya negatif yönde 220°lik açı yapacak şekilde hareket etmesi; Cansu'nun B noktasına ulaşması için ise negatif yönde 140° veya pozitif yönde 220°lik açı yapacak şekilde hareket etmesi gerekir.

Bir açı, x ekseninden itibaren pozitif veya negatif yönde farklı ölçülerle ifade edilebilir; aynı nokta hem pozitif hem negatif yönlü açı ölçüsüyle tanımlanabilir (örneğin bir nokta pozitif yönde 70°, aynı zamanda negatif yönde 290°lik açıyla da ifade edilebilir), çünkü tam tur 360°dir.

Özet

• Birim çember (merkezi orijin, yarıçapı 1 birim olan çember) üzerinde, x ekseninden itibaren θ açısıyla çizilen ışının çemberi kestiği noktanın koordinatları (cosθ, sinθ) şeklindedir; bu tanım dar açıların ötesinde 90°den büyük (geniş) açılar için de trigonometrik oranların hesaplanmasını sağlar.
• Geniş açılarda (örneğin 120°, 135°, 150°) kosinüs değeri negatif olabilirken sinüs değeri pozitif kalır; bu, birim çemberin ikinci bölgesindeki koordinat işaretlerinden kaynaklanır (cos120° = −1/2, sin120° = √3/2 gibi).
• Yönlü açı kavramına göre orijin merkezli bir ışının saat yönünün tersine dönmesi pozitif, saat yönünde dönmesi negatif yönlü açı oluşturur; aynı konum hem pozitif hem negatif yönlü farklı açı ölçüleriyle (toplamları 360° olacak şekilde) ifade edilebilir.