Gradyan Vektörler (Gradient Vectors)

Gradyan Vektörünün Tanımı

Önceki konularda yönlü türevin formülünün $\nabla f \cdot \vec{u}$ (yani iki vektörün iç çarpımı) şeklinde de yazılabileceğinden bahsetmiştik. Buradaki ters üçgen sembolü olan nabla ($\nabla$), gradyan operatörünü temsil eder.

Bir $f(x,y)$ skaler fonksiyonunun gradyan vektörü (veya sadece "gradyan"), fonksiyonun kısmi türevlerinden oluşturulan bir vektördür. İki değişkenli fonksiyonlar için gradyan vektörü şöyle tanımlanır:

$$ \nabla f(x,y) = \langle f_x(x,y), f_y(x,y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} $$

Eğer fonksiyon üç değişkenli, yani $f(x,y,z)$ ise, gradyan vektörü 3 boyutlu bir vektör olur:

$$ \nabla f(x,y,z) = \langle f_x(x,y,z), f_y(x,y,z), f_z(x,y,z) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k} $$

Dikkat: Skaler bir $f$ fonksiyonuna gradyan operatörü ($\nabla$) uygulandığında ortaya çıkan sonuç bir vektördür. (Örnek: Sıcaklık bir skalerdir, ama sıcaklık gradyanı bir yöne sahip olan vektördür.)

Maksimum ve Minimum Yönlü Türev (En Dik Yokuş)

Yönlü türevi gradyan yardımıyla şöyle yazmıştık: $$ D_u f = \nabla f \cdot \vec{u} $$

Vektörlerin iç (skaler) çarpım formülünü hatırlayalım: İki vektörün iç çarpımı, normları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. Öyleyse: $$ D_u f = |\nabla f| |\vec{u}| \cos(\theta) $$ Burada $\vec{u}$ birim vektör olduğu için uzunluğu $|\vec{u}| = 1$'dir. Denklemi sadeleştirirsek: $$ D_u f = |\nabla f| \cos(\theta) $$ elde ederiz. (Burada $\theta$, $\nabla f$ vektörü ile ilerlemek istediğimiz yön olan $\vec{u}$ vektörü arasındaki açıdır).

Bu denklem, $\cos(\theta)$'nın aldığı değerlere göre yönlü türevin maksimize veya minimize edilmesini sağlayan çok temel 3 sonucu ortaya çıkarır:

1. Maksimum Artış Yönü: $\cos(\theta)$'nın en büyük değeri $1$'dir ve bu da $\theta = 0$ (yani $\vec{u}$ ile gradyan vektörünün aynı yönde olduğu) durumunda gerçekleşir. Demek ki bir noktadan fonksiyonun en hızlı artacağı (en dik yokuş yukarı) yöne gitmek istiyorsanız, gradyan vektörü yönünde hareket etmelisiniz. Bu durumda yönlü türevin alabileceği en büyük (maksimum) değer gradyanın uzunluğuna, yani $|\nabla f|$'ye eşit olur.
2. Maksimum Azalış Yönü: $\cos(\theta)$'nın en küçük değeri $-1$'dir ve bu da $\theta = \pi$ (veya $180^\circ$, yani gradyan vektörüne tam zıt yönde olunduğu) durumunda gerçekleşir. Fonksiyonun en hızlı azalacağı yön $-\nabla f$ yönündedir. Bu durumda yönlü türevin alabileceği en küçük değer $-|\nabla f|$ olur.
3. Değişimin Sıfır Olduğu Yön: $\cos(\theta) = 0$ olduğu durum, $\theta = 90^\circ$ (vektörlerin birbirine dik) olduğu andır. Eğer gradyan vektörüne dik yönde (seviye eğrisi boyunca) hareket ederseniz, fonksiyonun değeri değişmez ($D_u f = 0$).

Örnek 1:

Soru: $f(x,y) = x e^y$ fonksiyonu veriliyor. $P(2,0)$ noktasından başlayarak; a) Fonksiyonun en hızlı arttığı yönü bulunuz. b) Fonksiyonun o yöndeki değişim hızı (maksimum yönlü türev) kaçtır?

Çözüm: 1. Kısmi türevleri bulalım: $f_x = e^y$ $f_y = x e^y$

1. $P(2,0)$ noktasında bu türevlerin değerini bulup gradyan vektörünü yazalım: $f_x(2,0) = e^0 = 1$ $f_y(2,0) = 2 \cdot e^0 = 2$ Gradyan vektörü: $\nabla f(2,0) = \langle 1, 2 \rangle$.

a) Fonksiyonun en hızlı arttığı yön, gradyan vektörü yönüdür. Yani $\langle 1, 2 \rangle$ yönündedir. (Dilersek bunu $\frac{1}{\sqrt{5}}\langle 1, 2 \rangle$ şeklinde birim vektör olarak da yazabiliriz).

b) En yüksek değişim hızı, gradyan vektörünün normuna (uzunluğuna) eşittir. $|\nabla f(2,0)| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$'tir.

Seviye Eğrilerine Diklik ve Gradyan

Gradyan vektörlerinin en çarpıcı geometrik özelliği, daima fonksiyonun seviye eğrilerine (contour lines) dik olmalarıdır.

İki boyutlu $z = f(x,y)$ yüzeyinde bir $f(x,y) = k$ seviye eğrisi çizelim. Bu eğri üzerinde herhangi bir $P_0(x_0, y_0)$ noktasında hesaplanan gradyan vektörü $\nabla f(x_0, y_0)$, tam olarak o noktada seviye eğrisine çizilen teğet doğrusuna dik (normal) konumdadır.

Bu geometrik özellik, fizikte çok kullanışlıdır. İzobar (eş basınç) eğrilerine dik yönelmiş rüzgarlar veya izotermal (eş sıcaklık) eğrilerine dik akan ısı akısı, doğadaki sistemlerin her zaman gradyan (en yüksek eğim) boyunca dengelenme eğiliminden kaynaklanır.

Örnek 2:

Soru: $f(x,y) = x^2 + y^2$ fonksiyonunu inceleyelim. $f(x,y) = 25$ seviye eğrisi üzerindeki $P(3,4)$ noktasında gradyan vektörünün teğet doğruya dik olduğunu gösteriniz.

Çözüm: Fonksiyon paraboloid şeklindedir ve $x^2 + y^2 = 25$ denklemi yarıçapı 5 olan bir çember (seviye eğrisi) belirtir. Gradyan vektörünü bulalım: $f_x = 2x \implies f_x(3,4) = 6$ $f_y = 2y \implies f_y(3,4) = 8$ $\nabla f(3,4) = \langle 6, 8 \rangle$.

Bu gradyan vektörünün eğimi, y/x'den hesaplanırsa $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ olur. Şimdi çembere (seviye eğrisine) $(3,4)$ noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım. Kapalı fonksiyon türevi kuralı kullanılarak: $\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x}{f_y} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ $(3,4)$ noktasında teğet eğimi $m_t = -\frac{3}{4}$'tür.

İki doğrunun birbirine dik olması için eğimleri çarpımının $-1$ olması gerekir: $m_{gradyan} \times m_{teget} = (\frac{4}{3}) \times (-\frac{3}{4}) = -1$. Gerçekten de gradyan vektörü, seviye eğrisine (teğetine) tam olarak diktir.

Özet

Gradyan vektör, bir fonksiyonun uzaydaki tüm birinci mertebeden kısmi türevlerini içeren sihirli bir kutudur. Yönlü türev hesaplamayı sıradan bir nokta (iç) çarpımına indirgeyen gradyan, aynı zamanda fonksiyonun topografik yapısını kusursuz bir biçimde okumamızı sağlar. Gradyan nereyi gösteriyorsa, orası "zirveye giden en kısa ve en dik yoldur". Zıt yönü en dik uçurumu gösterirken, gradyana dik yönler yükseklik kaybetmediğimiz veya kazanmadığımız yürüyüş yollarıdır. Ayrıca gradyan vektörü daima seviye eğrilerine dik (normal) durumdadır.