Ekstremum Noktalar (Extremum Points)

Yerel Maksimum ve Minimum Kavramları

Bir dağın haritasını (yükselti modelini) düşünün. Dağın zirveleri, haritadaki en yüksek (maksimum) noktaları temsil eder. Dağların arasındaki vadi çukurları ise en düşük (minimum) noktalardır. Bir $z = f(x,y)$ fonksiyonu için de yerel maksimum ve minimum noktaları aynen bu şekildedir.

• Bir $(a,b)$ noktasının çok yakınındaki her $(x,y)$ için $f(a,b) \geq f(x,y)$ eşitsizliği sağlanıyorsa, fonksiyon $(a,b)$ noktasında bir yerel maksimum değere sahiptir.
• Aynı şekilde o noktanın civarındaki tüm $(x,y)$'ler için $f(a,b) \leq f(x,y)$ ise, fonksiyon o noktada bir yerel minimum değere sahiptir.

Kalkülüs 1 dersinde $f(x)$ gibi tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitlerdik ($f'(x) = 0$). Çünkü zirvelerde ve çukurlarda teğet doğrusu yatay (eğimi sıfır) olur. İki değişkenli fonksiyonlar için durum tam olarak aynıdır: Zirve ve çukurlarda, teğet düzlemi tamamen yataydır.

Kritik Noktaların Bulunması

Teğet düzleminin tamamen yatay olması (yere paralel olması), hem x ekseni boyunca hem de y ekseni boyunca eğimin sıfır olması demektir. Bu noktaları bulmak için birinci mertebeden kısmi türevleri eş zamanlı olarak sıfıra eşitleyen $(x,y)$ ikilileri bulunur. Bu noktalara Kritik Noktalar denir.

Bir $(a,b)$ noktasının kritik nokta olması için şu iki denklemin aynı anda sağlanması şarttır: $$ f_x(a,b) = 0 $$ $$ f_y(a,b) = 0 $$ (Veya kısmi türevlerin bu noktada tanımsız olması durumu da kritik nokta belirtir).

Bir noktada kısmi türevlerin sıfır olması (kritik nokta olması), o noktanın kesinlikle bir ekstremum noktası olacağını garanti etmez. Orası bir zirve (maksimum) olabileceği gibi, bir çukur (minimum) ya da eğer (semer, eyer) noktası olarak bilinen ne maksimum ne de minimum olan çok özel bir büküm noktası da olabilir.

Eğer (Semer - Saddle) Noktası Nedir?

Eğer noktası, fonksiyonun bir eksen boyunca bakıldığında çukur (minimum) gibi, diğer bir eksen boyunca bakıldığında ise zirve (maksimum) gibi davrandığı geometrik şekildir. At semerine, ya da bir dağ geçidine (iki dağın ortasındaki geçiş zirvesi, ancak yanlardaki uçurumlara göre çukur) benzer. Eğer noktasında kısmi türevler $0$ olmasına rağmen fonksiyon burada bir yerel uç değere sahip değildir.

İkinci Türev Testi (Diskriminant, Hessian)

Bir kritik noktanın, yerel maksimum mu, yerel minimum mu yoksa bir eğer noktası mı olduğunu belirlemek için İkinci Türev Testi kullanılır. İkinci mertebeden kısmi türevler ($f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$) hesaplanarak her bir kritik nokta için $D$ veya $\Delta$ olarak adlandırılan Diskriminant (veya Hessian determinantı) şu formülle hesaplanır:

$$ D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - [f_{xy}(x,y)]^2 $$

Bulunan $D$ değeri ve $f_{xx}$ değerinin işaretlerine bakılarak şu 4 farklı duruma karar verilir:

1. Eğer $D > 0$ ve $f_{xx} > 0$ ise: Nokta bir Yerel Minimum noktasıdır. (Kase yukarı bakıyor)
2. Eğer $D > 0$ ve $f_{xx} < 0$ ise: Nokta bir Yerel Maksimum noktasıdır. (Kase aşağı bakıyor)
3. Eğer $D < 0$ ise: Nokta bir Eğer (Semer) Noktasıdır.
4. Eğer $D = 0$ ise: İkinci türev testi sonuçsuz kalır, kesin bir şey söylenemez. Farklı testler veya grafikten analiz gerekir.

Not: İkinci maddelerde $f_{xx}$ yerine $f_{yy}$ işaretine de bakılabilir, zira $D>0$ olduğunda her ikisi de mutlaka aynı işarete sahiptir.

Adım Adım Örnek

Soru: $f(x,y) = 2x^3 + xy^2 + 5x^2 + y^2$ fonksiyonunun tüm kritik noktalarını bulunuz ve İkinci Türev Testi kullanarak bu noktaları sınıflandırınız.

Çözüm:

1. Adım: Birinci kısmi türevleri bul ve sıfıra eşitle: $f_x = 6x^2 + y^2 + 10x = 0$ (Denklem 1) $f_y = 2xy + 2y = 0$ (Denklem 2)

Bu bir denklem sistemidir, kolay olandan (Denklem 2) başlayalım: $2y(x + 1) = 0$ Buradan $y = 0$ veya $x = -1$ çıkar. İki farklı durumu Denklem 1'de ayrı ayrı yerine koymalıyız.

Durum A ($y=0$ için): Denklem 1'de $y=0$ yazarsak: $6x^2 + 0 + 10x = 0 \implies 2x(3x + 5) = 0$ $x = 0$ veya $x = -5/3$ bulunur. Böylece iki kritik nokta elde edilir: $P_1(0, 0)$ ve $P_2(-5/3, 0)$.

Durum B ($x=-1$ için): Denklem 1'de $x=-1$ yazarsak: $6(-1)^2 + y^2 + 10(-1) = 0 \implies 6 + y^2 - 10 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = 2, y = -2$ Böylece iki kritik nokta daha elde edilir: $P_3(-1, 2)$ ve $P_4(-1, -2)$.

Toplam 4 adet kritik noktamız vardır: $(0,0), (-5/3,0), (-1,2)$ ve $(-1,-2)$.

2. Adım: İkinci mertebeden kısmi türevleri ve $D(x,y)$ denklemini yaz: $f_{xx} = 12x + 10$ $f_{yy} = 2x + 2$ $f_{xy} = 2y$ (Önce x'e sonra y'ye göre türev)

Diskriminant formülü: $$ D(x,y) = (12x + 10)(2x + 2) - (2y)^2 $$

3. Adım: Testi her kritik nokta için uygula:

• $P_1(0,0)$ için: $D(0,0) = (10)(2) - (0)^2 = 20$. $D > 0$. Şimdi $f_{xx}(0,0) = 12(0) + 10 = 10 > 0$. Sonuç: Yerel Minimum

• $P_2(-5/3, 0)$ için: $D(-5/3, 0) = (12(-5/3)+10)(2(-5/3)+2) - (0)^2 = (-20+10)(-10/3+6/3) = (-10)(-4/3) = 40/3$. $D > 0$. Şimdi $f_{xx}(-5/3,0) = -10 < 0$. Sonuç: Yerel Maksimum

• $P_3(-1, 2)$ için: $D(-1,2) = (12(-1)+10)(2(-1)+2) - (4)^2 = (-2)(0) - 16 = -16$. $D < 0$. Sonuç: Eğer (Semer) Noktası

• $P_4(-1, -2)$ için: $D(-1,-2) = (12(-1)+10)(2(-1)+2) - (-4)^2 = (-2)(0) - 16 = -16$. $D < 0$. Sonuç: Eğer (Semer) Noktası

Bu kapsamlı analiz, fonksiyonun uzaydaki tepelerini, vadilerini ve vadiler arası geçitlerini eksiksiz bir şekilde haritalandırmamıza imkan tanır. Optimizasyon (maliyet minimizasyonu, kar maksimizasyonu) süreçlerinde, çoklu değişkenlere bağlı modellerin en iyi çözümünü bulmak bu adımların kusursuzca uygulanmasını gerektirir.