EBOB-EKOK Problemleri: Çit, Fayans ve Sayı Oyunu Uygulamaları

EBOB ve EKOK kavramları, "eşit aralıklarla en az sayıda nesne yerleştirme" ve "farklı periyotlu/parçalı ölçümlerin ortak bir noktada buluşması" türündeki günlük hayat problemlerinde doğrudan uygulanır.

Uygulama Örneği: Çit Problemi (EKOK)

Bir çiftlik yolunun her iki tarafı, 3 m, 5 m veya 9 m uzunluğundaki çitlerden sadece biri seçilerek, çitler parçalanmadan yan yana dizilerek kapatılacaktır. 3 metrelik çit seçilirse 2 m, 5 metrelik çit seçilirse 4 m, 9 metrelik çit seçilirse 8 m boşluk kalmaktadır (çit uzunluğundan daha küçük boşluk kaldığında işlem sonlanır). Çit maliyetleri sırasıyla 650 TL, 1100 TL, 2300 TL'dir.

Çözüm: Yolun bir tarafının uzunluğu A metre olsun. 3 m'lik çitten x, 5 m'lik çitten y, 9 m'lik çitten z tane kullanılırsa: A = 3x+2 = 5y+4 = 9z+8. Her iki tarafa 1 eklenirse: A+1 = 3(x+1) = 5(y+1) = 9(z+1) olur — yani A+1, 3, 5 ve 9'un ortak katı olmalıdır. 3=3¹, 5=5¹, 9=3² olduğundan EKOK(3,5,9) = 3²·5 = 45'tir. En küçük ortak kat seçildiğinde A+1 = 45, yani A = 44 metre bulunur.

Maliyet karşılaştırması: 3x+2=44 → x=14, kullanılan çit sayısı (iki taraf için) 2×14=28, maliyet 28×650=18.200 TL. 5y+4=44 → y=8, çit sayısı 2×8=16, maliyet 16×1100=17.600 TL. 9z+8=44 → z=4, çit sayısı 2×4=8, maliyet 8×2300=18.400 TL. En düşük maliyet 5 metrelik çit seçildiğinde (17.600 TL) elde edilir.

Uygulama Örneği: Kare Depo Tabanına Fayans Döşeme (EBOB)

Bir kenarı 210 cm olan kare şeklindeki bir deponun tabanına, alanı 630 cm² ve bir kenar uzunluğu en fazla 40 cm olan dikdörtgen eş fayanslar, parçalanmadan ve boşluksuz döşenecektir.

Çözüm: Fayansın kenar uzunlukları, 210'u tam bölmelidir (fayanslar boşluksuz ve parçasız döşeneceğinden) ve çarpımları fayans alanı olan 630 cm²'ye eşit olmalıdır. 210'un bölenlerinden çarpımı 630 olan ve ikisi de 40 cm'yi aşmayan tek çift 21 ve 30'dur (210/21=10, 210/30=7, her ikisi de tam sayı; 21×30=630). Bu nedenle fayans kenarları 21 cm ve 30 cm olarak bulunur. Depo tabanına döşenen fayans sayısı, döşeme alanının (210×210) fayans alanına (630) bölünmesiyle: (210×210)/630 = 44.100/630 = 70 fayans.

Uygulama Örneği: EBOB-EKOK Sayı Oyunu

Bir eğitim oyununda, iki çubuk üzerindeki sayılar hareket ettirilerek ekranda seçilen iki sayının EBOB'u ve EKOK'u hesaplanır.

a) "EBOB'u 1 olacak şekilde çubukları konumlandırınız" sorusu: 1. çubuktaki sayılar {2,3,6,7}, 2. çubuktaki sayılar {4,5,9,12} olduğunda, EBOB'u 1 olan (yani aralarında asal olan) sayı ikilileri: (2,5), (2,9), (3,4), (3,5), (6,5), (7,4), (7,5), (7,9), (7,12) — bu ikililerin her birinde iki sayının ortak asal çarpanı yoktur.

b) "1. çubuktan 3 sayısını seçin; 2. çubuktan öyle bir sayı seçin ki EKOK'ları çarpımlarına eşit olsun" sorusu: İki sayının EKOK'u çarpımlarına eşit olması, bu iki sayının aralarında asal olması (EBOB=1) anlamına gelir — çünkü A·B = EBOB(A,B)·EKOK(A,B) ilişkisinden EKOK=A·B olması için EBOB=1 olmalıdır. 3 ile aralarında asal olan 2. çubuk sayıları 4 ve 5'tir (3 ile 9'un EBOB'u 3 olduğundan 9 bu koşulu sağlamaz).

Özet

• EKOK'a dayalı problemler genellikle "farklı uzunluk/periyotlu parçaların ortak bir noktada tam olarak bittiği en küçük değeri bulma" (çit örneğinde A+1 = EKOK(3,5,9)=45) biçimindedir; EBOB'a dayalı problemler ise "bir bütünü parçalamadan tam bölen en büyük ortak ölçüyü bulma" (fayans örneğinde kenar uzunlukları) biçimindedir.
• A·B = EBOB(A,B)·EKOK(A,B) ilişkisi, iki sayının EKOK'unun çarpımlarına eşit olabilmesi için bu sayıların aralarında asal (EBOB=1) olması gerektiğini gösterir.
• Bu tür problemlerde farklı çözüm (seçenek) alternatifleri arasında maliyet/verimlilik karşılaştırması yapılırken, her seçeneğin EBOB/EKOK'a dayalı gereksinimi (kullanılan parça sayısı, kalan boşluk gibi) ayrı ayrı hesaplanıp karşılaştırılmalıdır.