2, 4, 5, 8 ve 10 ile Bölünebilme Kuralları

Tam açının 360 derece olarak seçilmesi, MÖ 2000 yıllarında Mezopotamya'da yaşayan Babillilerin 60 tabanlı sayı sistemine dayanır; 60 sayısı birçok sayıya (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 30) bölünebildiğinden bu sistem üzerinde hesaplamalar kolaydı. Bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini (veya bölümünden kalanı) hızlıca bulmak, bölünebilme kuralları sayesinde uzun bölme işlemi yapmadan mümkündür.

Basamak Çözümlemesine Dayalı Kurallar

Bir çok basamaklı sayı, basamak değerlerine göre çözümlendiğinde (örneğin abcde = 10000a+1000b+100c+10d+e), bölme algoritması (a=b·c+k, k<b) kullanılarak her bir bölme kuralının cebirsel kökeni gösterilebilir.

2 ile Bölünebilme: Bir sayının 2 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 2 ile bölümünden kalana eşittir. Örneğin 148 = 100+40+8 şeklinde çözümlendiğinde 100 ve 40 çift olduğundan (2 ile tam bölünür), kalan yalnızca 8'in 2 ile bölümünden kalana (0) eşittir.

5 ile Bölünebilme: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

10 ile Bölünebilme: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakama eşittir.

4 ile Bölünebilme: Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, o sayının son iki basamağını oluşturan sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir. (Cebirsel gerekçe: abcde = 4(2500a+250b+25c) + de, dolayısıyla kalan yalnızca "de" iki basamaklı sayısına bağlıdır.)

8 ile Bölünebilme: Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, o sayının son üç basamağını oluşturan sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

Uygulama Örneği: Zeytinyağı Şişeleme Problemi

Bir firmanın 127 litrelik varillerindeki zeytinyağı, 2, 4, 5, 8 ve 10 litrelik şişelere ayrı ayrı şişeleme ünitelerinde şişelenmekte, her ünitede kalan miktar ayrı bir varilde birleştirilmektedir. 127'nin 2 ile bölümünden kalan 1, 4 ile bölümünden kalan 3 (son iki basamak "27", 27=4·6+3), 5 ile bölümünden kalan 2, 8 ile bölümünden kalan 7 (son üç basamak "127", 127=8·15+7), 10 ile bölümünden kalan 7'dir. Birleştirilen varildeki toplam miktar: 1+3+2+7+7 = 20 litre.

Kat İlişkisi ile Kalan Bulma

Bölme kuralları, basamak çözümlemesi dışında kat ilişkisi yöntemiyle de bulunabilir: bir sayıya en yakın küçük katı bulunup fark alınır. Örneğin 72'nin 5 ile bölümünden kalanı bulmak için 72 = 5·14+2 yazılır, kalan 2'dir. Bu iki yöntem (basamak çözümleme ve kat ilişkisi) aynı sonucu verir; hangisinin daha kullanışlı olduğu sayının büyüklüğüne ve basamak yapısına göre değişebilir — büyük sayılarda son birkaç basamağa bakan basamak çözümlemesi genellikle daha hızlıdır.

Özet

• 2, 5 ve 10 ile bölme kuralları yalnızca sayının birler basamağına bakar (2 ve 5 için kalan hesaplanır, 10 için kalan doğrudan birler basamağın kendisidir); bu, 10'un kendisinin birler basamağı dışındaki tüm basamak değerlerini (10, 100, 1000, ...) tam bölmesinden kaynaklanır.
• 4 ile bölme kuralı sayının son iki basamağına, 8 ile bölme kuralı son üç basamağına bakar; bu, 100'ün 4'e, 1000'in 8'e tam bölünmesinden kaynaklanır ve cebirsel basamak çözümlemesiyle kanıtlanabilir.
• Zeytinyağı şişeleme örneğinde olduğu gibi, birden fazla bölme kuralının aynı anda uygulanması gereken pratik problemlerde her kuralın verdiği kalan ayrı ayrı hesaplanıp toplanarak sonuca ulaşılır.