3 ve 9 ile Bölünebilme Kuralları

2, 4, 5, 8 ve 10 ile bölünebilme kuralları sayının son bir/iki/üç basamağına bakarken, 3 ve 9 ile bölünebilme kuralları sayının tüm rakamlarının toplamına dayanır.

3 ile Bölünebilme Kuralı

Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan, o doğal sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Örneğin 261 = 200+60+1 sayısında rakamlar toplamı 2+6+1=9'dur; 9, 3 ile tam bölündüğünden 261 de 3 ile tam bölünür (kalan 0).

Cebirsel gerekçe: Beş basamaklı abcde sayısı için abcde = 10000a+1000b+100c+10d+e = 9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e) = 3(3333a+333b+33c+3d)+(a+b+c+d+e) şeklinde yazılabilir; 9999, 999, 99 ve 9 sayıları 3'ün katı olduğundan kalan yalnızca rakamlar toplamına (a+b+c+d+e) bağlıdır.

9 ile Bölünebilme Kuralı

Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan, o doğal sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Örneğin 234 sayısında rakamlar toplamı 2+3+4=9'dur; 234, 9 ile tam bölünür.

Doğrulama örneği: 252 sayısında rakamlar toplamı 2+5+2=9'dur, hem 252 hem de 9, 3 ve 9 ile tam bölünür (kalan 0). 1472 sayısında rakamlar toplamı 1+4+7+2=14'tür; 14'ün 3 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 1472'nin 3 ile bölümünden kalanı da 2'dir.

Uygulama Örneği: Bilye Alışverişi Problemi

Beş kişilik bir arkadaş grubunda beyaz bilyeler 3 TL, mavi bilyeler 9 TL'dir; kişilerin yanlarındaki paralar 90, 118, 120, 142, 155 TL'dir. Miray yalnızca mavi bilye almış ve ödeme sonrası 7 TL'si kalmıştır — yani parası 9 ile bölündüğünde 7 kalan vermelidir; bu şartı sağlayan tek sayı 142'dir. Buğra yalnızca beyaz bilye almış ve ödeme sonrası 1 TL'si kalmıştır — parası 3 ile bölündüğünde 1 kalan vermelidir; bu şartı 118 ve 142 sağlar, ancak 142 Miray'a ait olduğundan Buğra'nın parası 118 TL'dir.

Uygulama Örneği: Rakam Değiştirme ile Şifre Üretme

Üç basamaklı ABC sayısının rakamları yer değiştirerek elde edilen ACB, BAC, BCA, CBA, CAB sayılarıyla ABC arasındaki farkın mutlak değeri hesaplandığında, her bir farkın cebirsel ifadesi her zaman 9'un katı çıkar (örneğin |ABC−ACB|=|9(B−C)|, |ABC−BAC|=|90(A−B)|=9·10(A-B), |ABC−CBA|=|99(A−C)|=9·11(A-C) gibi — tüm ifadeler 9 çarpanı içerir). Bu nedenle, böyle bir yöntemle üretilen tüm şifrelerin 9'un katı olması gerekir. Beş öğrencinin ürettiği şifreler 027, 180, 225, 478, 495 olduğunda, 478'in 9 ile bölümünden kalanı 1 olduğundan (478=9·53+1), 478 hatalı üretilmiş bir şifredir.

Özet

• 3 ve 9 ile bölünebilme kuralları, sayının rakamları toplamının sırasıyla 3 veya 9 ile bölümünden kalana bakarak belirlenir; bu, 10'un kuvvetlerinin (10, 100, 1000, ...) her zaman 9'a bölümünden 1 kalanı vermesinden kaynaklanan cebirsel bir sonuçtur.
• Bu kurallar, bir sayının belirli bir kalan koşulunu sağlayıp sağlamadığını (örneğin bilye alışverişi probleminde "9 ile bölümünden kalan 7" koşulunu) hızlıca test ederek gerçek hayat problemlerinde doğru seçeneği belirlemeyi sağlar.
• Üç basamaklı bir sayının rakamlarının yer değiştirilmesiyle elde edilen sayı ile orijinal sayı arasındaki fark her zaman 9'un katıdır; bu özellik hatalı veri/şifre tespitinde (kalan sıfır değilse hata var demektir) kullanılabilir.