Üçgen Çizimleri: Bir Üçgeni Tek Başına Belirten Koşullar

Bir üçgenin üç kenarı ve üç iç açısı olmak üzere toplam altı temel elemanı vardır. Matematikte "bir üçgenin çizilebilmesi" dendiğinde kastedilen, dünyadaki herkesin verilen ölçüleri kullandığında boyutları, açıları ve şekli tamamen aynı (eş) olan tek bir üçgen çizebilmesidir. Eğer verilen bilgiler birden fazla farklı üçgen çizilmesine olanak tanıyorsa, o bilgiler belirli bir üçgeni tanımlamak için yetersizdir.

Peki, belirli ve tek bir üçgen çizebilmek için bu altı elemandan en az kaç tanesini bilmeliyiz? Kural şudur: En az biri kenar uzunluğu olmak şartıyla, üç elemanın bilinmesi gerekir.

Yani sadece üç açıyı bilirseniz belirli bir üçgen çizemezsiniz. Açıları $60^\circ - 60^\circ - 60^\circ$ olan bir eşkenar üçgenin kenarları 5'er cm de olabilir, 50'şer metre de olabilir. Benzerdirler ancak aynı üçgen değillerdir.

Belirli bir üçgenin çizilebilmesi için bilinen 3 elemanın sahip olması gereken üç temel durum vardır. Bunlara "Üçgen Çizim Kuralları" veya "Eşlik Kuralları" da denir.

1. Üç Kenar Uzunluğu Bilinen Üçgen Çizimi (Kenar-Kenar-Kenar / K.K.K)

Bir üçgenin üç kenar uzunluğu biliniyorsa, bu üçgen cetvel ve pergel yardımıyla tek türlü çizilebilir. Ancak burada dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, verilen üç kenar uzunluğunun daha önce öğrendiğimiz Üçgen Eşitsizliği kuralını sağlaması gerektiğidir. Eğer sağlamıyorsa, bırakın tek bir üçgen çizmeyi, hiçbir üçgen çizilemez.

Çizim Aşamaları: 1. Öncelikle cetvel kullanılarak verilen kenarlardan biri (genellikle en uzun olanı tercih edilir) düz bir doğru parçası olarak çizilir. 2. Pergelin ucu cetvel üzerinde ikinci kenarın uzunluğu kadar açılır. 3. Pergelin sivri ucu, çizdiğimiz doğru parçasının bir ucuna batırılır ve yukarıya doğru bir yay çizilir. 4. Pergelin ucu bu kez üçüncü kenarın uzunluğu kadar açılır. 5. Pergelin sivri ucu, doğru parçasının diğer ucuna batırılır ve ilk çizilen yayı kesecek şekilde ikinci bir yay çizilir. 6. Yayların kesiştiği nokta, üçgenimizin üçüncü köşesidir. Bu köşe cetvel yardımıyla tabandaki köşelerle birleştirilir ve üçgen tamamlanır.

2. İki Kenar Uzunluğu ve Bu Kenarlar Arasındaki Açısı Bilinen Üçgen Çizimi (Kenar-Açı-Kenar / K.A.K)

İki kenar uzunluğu ve tam bu iki kenarın birleştiği (kesiştiği) köşedeki açının ölçüsü biliniyorsa belirli bir üçgen çizilebilir. Bu çizim için cetvel ve açıölçer (iletki) kullanılır.

Çizim Aşamaları: 1. Cetvel ile bilinen kenarlardan biri çizilir. 2. Açıölçerin merkezi, bu doğru parçasının bir ucuna yerleştirilir ve verilen açı ölçüsü işaretlenir. 3. İşaretlenen noktadan geçecek şekilde cetvel yardımıyla bir ışın çizilir. 4. Çizilen bu ışın üzerinde, ikinci kenarın uzunluğu kadar bir nokta belirlenir. (Bunu pergel veya cetvel ile yapabiliriz). 5. Belirlenen bu nokta ile başlangıçtaki doğru parçasının diğer ucu birleştirilir. Üçüncü kenar kendiliğinden oluşur ve üçgen çizilmiş olur.

Not: Eğer verilen açı, bilinen iki kenarın arasındaki açı değilse belirli bir üçgen çizilemez, farklı üçgenler oluşabilir.

3. Bir Kenar Uzunluğu ve Bu Kenarın Uçlarındaki İki Açısı Bilinen Üçgen Çizimi (Açı-Kenar-Açı / A.K.A)

Bir kenarının uzunluğu ve bu kenarın her iki ucundaki (sağında ve solundaki) köşelere ait iç açı ölçüleri biliniyorsa tek bir üçgen çizilebilir. Çizim için yine cetvel ve açıölçer (iletki) gerekir.

Çizim Aşamaları: 1. Cetvel yardımıyla bilinen uzunluktaki kenar (doğru parçası) çizilir. 2. Açıölçer kullanılarak, doğru parçasının sol ucundan verilen birinci açı ölçülür ve bir ışın çizilir. 3. Daha sonra açıölçer doğru parçasının sağ ucuna yerleştirilir, ikinci açı ölçülür ve oradan da ikinci bir ışın çizilir. 4. Çizilen bu iki ışının kesiştiği nokta üçgenin üçüncü köşesidir. Işınların kesişmesiyle üçgen tamamlanmış olur.

Not: Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman $180^\circ$'dir. Eğer bir kenar uzunluğu ve herhangi iki açı verilmişse, üçüncü açıyı kendimiz $180$'den çıkararak bulabileceğimiz için, yine bu kuralı uygulayarak üçgeni çizebiliriz.

Özet Tablo

• Kenar-Kenar-Kenar: Cetvel ve Pergel gerekir.
• Kenar-Açı-Kenar: Cetvel ve Açıölçer gerekir.
• Açı-Kenar-Açı: Cetvel ve Açıölçer gerekir.
• Açı-Açı-Açı: Belirli TEK BİR üçgen ÇİZİLEMEZ.
• Sadece 1 veya 2 eleman verilirse: Üçgen ÇİZİLEMEZ.

Bu çizim kuralları, haritacılıkta, arazilerin parsellenmesinde ve GPS (Küresel Konumlama Sistemi) uydularının konum belirlerken kullandığı nirengi (triangulation) yönteminin temel mantığını oluşturur.