Pisagor Bağıntısı: Geometrinin En Ünlü Teoremi

Geometri dendiğinde dünyadaki hemen herkesin aklına ilk gelen isimlerden biri olan Pisagor (Pythagoras), MÖ 6. yüzyılda yaşamış ünlü bir Yunan filozof ve matematikçidir. Her ne kadar bu kural ondan yüzyıllar önce Babilliler, Çinliler ve Hintliler tarafından biliniyor ve piramitlerin inşasında kullanılıyor olsa da, kuralı ilk kez matematiksel olarak ispatlayan ve kayıtlara geçiren kişi olduğu için teorem onun adıyla anılır. Pisagor bağıntısı sadece dik üçgenler için geçerlidir.

Dik Üçgen ve Elemanları

Pisagor bağıntısına geçmeden önce dik üçgeni iyi tanımalıyız. İç açılarından biri $90^\circ$ (dik açı) olan üçgene dik üçgen denir. Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan (birbirine dik olan) iki kenara dik kenarlar denir. Dik açının tam karşısında bulunan, üçgenin en uzun kenarına ise Hipotenüs adı verilir.

Pisagor Bağıntısı Nedir?

Pisagor Bağıntısı, dik kenarların uzunlukları ile hipotenüsün uzunluğu arasındaki kesin ve değişmez ilişkiyi ifade eder. Teorem şöyledir: Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Dik kenarlara $a$ ve $b$, hipotenüse ise $c$ dersek formül şu şekilde yazılır: $$a^2 + b^2 = c^2$$

Bu formül, herhangi iki kenarı bilinen bir dik üçgende verilmeyen üçüncü kenarı bulmamızı sağlar.

Örnek Çözüm:

Bir dik üçgenin dik kenarları $3$ cm ve $4$ cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? Çözüm: Dik kenarlarımız $a=3$ ve $b=4$. Hipotenüsümüz $c$. Pisagor bağıntısını yazalım: $3^2 + 4^2 = c^2$ $9 + 16 = c^2$ $25 = c^2$ Hangi pozitif sayının karesi 25'tir? Kök alırsak $c = 5$ cm olarak bulunur.

Özel Dik Üçgenler (Kenarlarına Göre)

Bazı dik üçgenlerin üç kenar uzunluğu da tam sayıdır. Bu üçgenlere "Pisagor Üçlüleri" veya "Özel Dik Üçgenler" denir. Sınavlarda ve sorularda zaman kazanmak için bu özel üçgenleri ve bunların katlarını ezbere bilmek çok büyük fayda sağlar.

En çok kullanılan özel dik üçgenler şunlardır: 1. 3 - 4 - 5 Üçgeni: Dik kenarlar 3 ve 4, hipotenüs 5'tir. Bu üçgenin katları da dik üçgendir: 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 30-40-50 vb. 2. 5 - 12 - 13 Üçgeni: Dik kenarlar 5 ve 12, hipotenüs 13'tür. Katları: 10-24-26 vb. 3. 8 - 15 - 17 Üçgeni: Dik kenarlar 8 ve 15, hipotenüs 17'dir. 4. 7 - 24 - 25 Üçgeni: Dik kenarlar 7 ve 24, hipotenüs 25'tir.

Soruda bir dik üçgenin kenarlarından biri 6, hipotenüsü 10 olarak verilmişse, hiç işlem yapmadan "Bu 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir, o halde diğer kenar 8 olmalıdır" diyerek hız kazanabiliriz. Ancak unutulmamalıdır ki en büyük sayı her zaman hipotenüs olmalıdır. Yani dik kenarları 3 ve 5 olan bir üçgenin diğer kenarına 4 diyemeyiz.

Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Pisagor bağıntısının en önemli kullanım alanlarından biri analitik geometride (koordinat sisteminde) iki nokta arasındaki en kısa uzaklığı bulmaktır. Koordinat düzleminde $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları verilmiş olsun. Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için sanal bir dik üçgen oluştururuz. - X eksenlerindeki fark, yatay dik kenarı oluşturur: $|x_2 - x_1|$ - Y eksenlerindeki fark, dikey dik kenarı oluşturur: $|y_2 - y_1|$ - İki nokta arasındaki uzaklık (AB uzunluğu) bu üçgenin hipotenüsü olur.

Yani uzaklık = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ formülü ile bulunur. Bu formül aslında tamamen Pisagor bağıntısının kendisidir.

Pisagor Bağıntısının Gerçek Hayattaki Yeri

Eğer bir duvara dayalı merdivenin boyunu, yerden yüksekliğini ve duvara olan uzaklığını biliyorsanız, ikisini kullanarak üçüncüsünü bulabilirsiniz. Televizyon ve bilgisayar ekranlarının boyutları (örneğin 65 inç veya 100 ekran gibi ifadeler) her zaman ekranın köşegen (hipotenüs) uzunluğudur. Ekranın eni ve boyu ile köşegen uzunluğu arasındaki ilişki her zaman Pisagor bağıntısı ile hesaplanır. Mimarlıkta dik açı (gönye) oluşturmak için inşaat ustaları yüzyıllardır $3-4-5$ oranına sahip ipler kullanırlar.