Eşlik ve Benzerlik: Üçgenlerin Karşılaştırılması

Geometride iki şekli birbiriyle kıyasladığımızda, aralarındaki boyut ve biçim ilişkisini ifade etmek için Eşlik ve Benzerlik kavramlarını kullanırız. Bu kavramlar sadece üçgenlerde değil, kare, dikdörtgen, çember gibi tüm geometrik şekillerde geçerlidir ancak en detaylı kuralları üçgenler üzerinden incelenir.

Eşlik Nedir? (Eş Üçgenler)

Eşlik, adı üzerinde iki şeklin tıpatıp aynı olması demektir. İki üçgenin birbirine eş olabilmesi için karşılıklı tüm açı ölçülerinin ve karşılıklı tüm kenar uzunluklarının birbirine tam olarak eşit olması gerekir. Kısacası eş üçgenler, birbirinin karbon kopyası veya fotokopisi gibidir. Yalnızca uzaydaki duruşları (döndürülmüş, ters çevrilmiş, yana yatırılmış olabilirler) farklı olabilir.

Eşlik sembolü $\cong$ şeklindedir (eşittir işaretinin üzerinde bir dalga). Eğer $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni eş ise bu durum $ABC \cong DEF$ şeklinde gösterilir.

Eşlik Gösteriminde Sıralamanın Önemi: Bu yazım rastgele değildir. $ABC \cong DEF$ yazıldığında bu şu anlama gelir: - A açısı ile D açısı eştir. $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ - B açısı ile E açısı eştir. $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ - C açısı ile F açısı eştir. $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$ Aynı şekilde karşılıklı kenarlar da eştir: - $|AB| = |DE|$ - $|BC| = |EF|$ - $|AC| = |DF|$

İki üçgenin eş olduğunu anlamak için 6 elemanın (3 açı, 3 kenar) hepsini bilmemize gerek yoktur. Tıpkı üçgen çizimlerindeki kurallarda olduğu gibi: - K.K.K Eşliği: Üç kenarı da aynıysa üçgenler eştir. - K.A.K Eşliği: İki kenarı ve aradaki açı aynıysa üçgenler eştir. - A.K.A Eşliği: Bir kenarı ve o kenarın ucundaki iki açısı aynıysa üçgenler eştir.

Benzerlik Nedir? (Benzer Üçgenler)

Benzerlik ise şekil olarak aynı ancak boyut olarak biri diğerinin büyütülmüş ya da küçültülmüş hali olan şekiller arasındaki ilişkidir. Bir fotoğrafı bilgisayarda köşesinden tutup orantılı bir şekilde büyüttüğünüzde veya küçülttüğünüzde oluşan yeni fotoğraf, orijinalinin benzeridir.

İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açılarının birbirine eşit olması ve karşılıklı kenar uzunluklarının birbiriyle orantılı olması gerekir. Benzerlik sembolü $\sim$ şeklindedir (sadece dalga işareti).

Eğer $ABC \sim KLM$ yazıyorsa: - $m(\widehat{A}) = m(\widehat{K})$ - $m(\widehat{B}) = m(\widehat{L})$ - $m(\widehat{C}) = m(\widehat{M})$ açıları eştir. (Dikkat: Açılar oranlı değil, eştir. Şekil büyüse de açılar değişmez!) Ancak kenarlar orantılıdır: $$ rac{|AB|}{|KL|} = rac{|BC|}{|LM|} = rac{|AC|}{|KM|} = k $$ Buradaki $k$ sabit sayısına Benzerlik Oranı denir.

Benzerlik Oranı ($k$)

• Eğer $k = 2$ ise, birinci üçgenin her bir kenarı, ikinci üçgenin o kenara karşılık gelen kenarının tam 2 katı demektir.
• Eğer $k = rac{1}{3}$ ise, birinci üçgen ikincinin üçte biri boyutundadır.
• Eğer $k = 1$ ise, iki üçgenin kenarları da birbirine eşittir demektir. Buradan çıkan altın kural şudur: Eş üçgenler aynı zamanda benzerdir ve benzerlik oranları 1'dir. Ancak benzer üçgenler eş olmak zorunda değildir.

Açı-Açı-Açı (A.A.A) Benzerliği

İki üçgenin karşılıklı olarak ikişer açısı eşitse, üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için zorunlu olarak üçüncü açıları da birbirine eşit olacaktır. Üç açısı da aynı olan üçgenlerin şekilleri aynıdır, dolayısıyla kenarları mutlaka birbiriyle orantılıdır. Çoğu benzerlik sorusu bu yöntemle çözülür. Eşit açıları işaretleyip, "Bu üçgende noktayla işaretlenmiş açının karşısında 5 varsa, diğer üçgende noktayla işaretlenmiş açının karşısında 10 var. Demek ki benzerlik oranı 1'e 2'dir. O zaman birinde çizgi açısının karşısı 8 ise, diğerinde 16 olmalıdır." mantığıyla tüm kenarlar hesaplanabilir.

Benzerliğin Çevre ve Alana Etkisi

Çok önemli iki kural vardır: 1. Benzer iki üçgenin çevre uzunlukları oranı, benzerlik oranına ($k$) eşittir. 2. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine ($k^2$) eşittir. Örneğin kenarları iki katına çıkarılan ($k=2$) bir üçgenin, çevresi de 2 katına çıkar. Ancak alanı $2^2 = 4$ katına çıkar.

Haritalardaki ölçekler aslında birer benzerlik oranıdır. "1:100.000" ölçekli bir harita, gerçek Türkiye ile haritadaki Türkiye'nin benzer olduğunu ve benzerlik oranının 1/100.000 olduğunu ifade eder. Mimari maketler, uçak ve araba modelleri tamamen benzerlik kuralları kullanılarak üretilir.