Bir Doğru Parçasını Bölen Noktanın Koordinatları, Orta Nokta ve Ağırlık Merkezi

Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

Dik koordinat sisteminde uç noktaları A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) olan [AB] doğru parçasını AC/CB=k (k bir rasyonel sayı) oranında içten bölen C(x,y) noktasının koordinatları:

$$\frac{x_2-x_1}{x_2-x} = k \quad \text{ve} \quad \frac{y_2-y_1}{y_2-y} = k$$

Dıştan bölen (AB doğrusu üzerinde ama [AB] parçasının dışında) C(x,y) noktası için:

$$\frac{x_2-x_1}{x-x_2} = k \quad \text{ve} \quad \frac{y_2-y_1}{y-y_2} = k$$

Bu bağıntılar, üçgende benzerlik kurallarından (eksenlere paralel yardımcı doğrular çizilerek oluşan benzer üçgenlerin karşılıklı kenar oranlarının eşitliğinden) türetilir.

Orta Nokta Bağıntısı

[KL] doğru parçasının uç noktaları K(x₁,y₁) ve L(x₂,y₂) olmak üzere, orta nokta M'nin koordinatları:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Orta nokta, doğru parçasını 1:1 oranında (k=1) içten bölen özel bir durumdur.

Üçgenin Ağırlık Merkezi Bağıntısı

Köşe noktaları A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) olan bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G, kenarortayların 2:1 oranında bölündüğü noktadır (köşeye yakın parça, karşı kenarın orta noktasına olan parçanın 2 katıdır). Bu bilgi ve orta nokta bağıntısı kullanılarak:

$$G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

Bölme Noktası Bağıntısının Kullanım Alanları

Bu bağıntı, iki nokta arasında belirli bir hızla hareket eden araçların karşılaşma noktasını, bir haritada verilen oranla ilerleyen rotanın belirli bir andaki konumunu veya bir fiziksel büyüklüğün (basınç, sıcaklık gibi) doğrusal değiştiği bir ortamda belirli bir ölçüm değerine karşılık gelen konumu bulmak için kullanılır. Örneğin, sabit hızlarla karşılıklı hareket eden iki aracın A ve B noktalarından farklı sürelerde (örneğin 3 saat ve 2 saat) aynı C noktasına ulaşması durumunda, C noktası [AB]'yi araçların hız oranlarıyla ilişkili bir oranda içten böler; bu oran, araçların kat ettiği mesafelerin (hız×süre) oranından belirlenir.

Uygulama Örneği: Serbest Düşme Hareketi

Bir cisim serbest düşme hareketi yaparken hızı saniyede 10 m artmaktadır; her saniye aralığında bir önceki aralıktan 10 metre fazla yol alır. 2. saniyedeki konum A(−4,6), 3. saniyedeki konum B(1,1)'dir (2-3. saniye arası 25 m yol alınmış). 3-4. saniye arası alınan yol 25+10=35 metredir. |AC|=25+35=60 m olduğundan AC/BC=60/35=12/7'dir; C, [AB]'yi bu oranda dıştan bölen noktadır (çünkü C, B'nin ötesinde, A'dan uzaklaşan yönde bulunur).

Hesaplama: (x−(−4))/(x−1)=12/7 → 7(x+4)=12(x−1) → 7x+28=12x−12 → 5x=40 → x=8. Benzer şekilde (y−6)/(y−1)=12/7 → 7(y−6)=12(y−1) → 7y−42=12y−12 → −5y=30 → y=−6. Cismin 4. saniyedeki konumu C(8,−6)'dır.

Özet

• Bir doğru parçasını belirli bir oranda içten veya dıştan bölen noktanın koordinatları, üçgende benzerlik ilkelerinden türetilen oran bağıntılarıyla (AC/CB=k) hesaplanır; içten bölme uç noktalar arasında, dıştan bölme doğru üzerinde ama parçanın dışında bir noktayı verir.
• Orta nokta bağıntısı M((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2), 1:1 oranında içten bölmenin özel bir durumudur; üçgenin ağırlık merkezi bağıntısı G((x₁+x₂+x₃)/3,(y₁+y₂+y₃)/3) ise üç köşe koordinatının aritmetik ortalamasıdır.
• Gerçek hayattaki doğrusal hareket problemlerinde (serbest düşme gibi), bilinen iki konum ve hareketin hız/ivme özelliklerinden yararlanılarak oluşturulan oran, bir sonraki konumu bulmak için dıştan bölme bağıntısına dönüştürülebilir.