Doğrunun Eğimi, Eğim Açısı ve Doğru Denklemi

Dik koordinat sistemi, bir doğrunun eğimi, denklemi ve kesişim noktaları gibi özelliklerini belirlemek için görsel ve cebirsel bir çerçeve sunar.

Eğim Tanımı

Eğim, bir doğru üzerindeki iki nokta arasında her bir birim yatay değişimde (x ekseni boyunca) doğru üzerinde ne kadar dikey değişim (y ekseni boyunca) olduğunu gösteren bir değerdir. A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen bir doğrunun eğimi m:

$$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Eğim Açısı

Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde (saat yönünün tersi yönde) yaptığı açıya doğrunun eğim açısı denir. Eğim açısının ölçüsü α ve eğimi m olan bir doğru için m = tan α eşitliği geçerlidir. Buna göre:

• α < 90° ⟹ m > 0
• α > 90° ⟹ m < 0
• α = 90° ⟹ m tanımsızdır (doğru dikeydir)
• α = 0° ⟹ m = 0 (doğru yataydır)

Doğru Denklemi

Eğimi m ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı n olan bir doğrunun denklemi y = mx + n olarak ifade edilir (eğim-kesim formu). Bir noktanın koordinatları, üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini sağlar — bu, bir noktanın bir doğru üzerinde olup olmadığını test etmenin temel yöntemidir: nokta koordinatları denklemde yerine konulduğunda eşitlik sağlanıyorsa nokta doğru üzerindedir.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi: A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen doğrunun denklemi, m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) olmak üzere m = (y−y₁)/(x−x₁) veya m = (y−y₂)/(x−x₂) biçiminde yazılabilir.

Eksene dik doğrular: A(x₁,y₁) noktasından geçen ve x eksenine dik olan doğrunun denklemi x=x₁, y eksenine dik olan doğrunun denklemi y=y₁ biçimindedir.

Uygulama Örneği: Araç Yakıt Tüketimi ve Yol Eğimi

Bir aracın hareketi A(−8,−5), B(12,10), C(19,34) noktalarından geçmektedir (hız sabit). [AB] ve [BC] uzunlukları uzaklık bağıntısıyla hesaplanır: |AB|=√(20²+15²)=25 birim, |BC|=√(7²+24²)=25 birim — eşit uzunlukta. Eğimleri: [AB]'nin eğimi=(10−(−5))/(12−(−8))=15/20=3/4; [BC]'nin eğimi=(34−10)/(19−12)=24/7. [BC]'nin eğimi [AB]'ninkinden büyük olduğundan, eğimi fazla olan [BC] yolunda harcanan yakıt miktarı, [AB] yolunda harcanandan fazladır (yollar eşit uzunlukta olsa da).

Uygulama Örneği: Dik Açıyla Dönen Hareketli (Uzaklık ve Eğim Birlikte)

Bir hareketli A(3,−1)'den doğu yönünde B(5,3)'e, sonra güney yönünde C(x,2)'ye gitmektedir. Doğu-Batı ile Kuzey-Güney doğrultuları birbirine dik olduğundan AB ile BC doğruları da diktir; eğimlerinin çarpımı −1'dir. AB'nin eğimi=(3−(−1))/(5−3)=2; BC'nin eğimi=(2−3)/(x−5)=−1/(x−5). 2·[−1/(x−5)]=−1 ⟹ x−5=2 ⟹ x=7. |AC|=√((7−3)²+(2−(−1))²)=√(16+9)=5 birim.

Uygulama Örneği: Sabit Ücret + Birim Ücret (Telefon Faturası Benzeri Model)

Bir telefon şirketinde sabit aylık ücret 60 TL, dakika başına ek ücret 0,50 TL'dir. x=konuşma süresi (dk), y=toplam ücret (TL) olmak üzere y eksenini A(0,60) noktasında kesen ve eğimi 0,50 olan doğru: y=0,50x+60. 100 dakika için y=0,50·100+60=110 TL; 80 TL ödeyen kişi 80=0,50x+60 ⟹ x=40 dakika konuşmuştur.

Özet

• Eğim m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁), bir doğrunun ne kadar "dik" olduğunu gösterir ve eğim açısının tanjantına eşittir (m=tanα); doğru denklemi y=mx+n (eğim-kesim formu) ile ifade edilir.
• Bir noktanın bir doğru üzerinde olup olmadığı, noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlayıp sağlamadığına bakılarak test edilir.
• Gerçek hayattaki sabit-artış ilişkileri (telefon faturası, yakıt tüketimi-eğim ilişkisi gibi) doğrusal fonksiyonlarla modellenir; eğim, birim değişim başına ne kadar artış/azalış olduğunu (örneğin dakika başına ücret artışını) doğrudan temsil eder.