Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit

Limitin Tanımı ve Kavramsal Anlamı

Tek değişkenli fonksiyonlarda limit kavramı, bağımsız değişken bir $x_0$ noktasına yaklaşırken $f(x)$ değerinin hangi $L$ değerine yaklaştığını ifade ederdi. $x \to x_0$ yaklaşımı sadece iki yönden olabilirdi: sağdan veya soldan.

Ancak iki değişkenli bir $f(x,y)$ fonksiyonu için, $(x,y)$ noktasının düzlemdeki bir $(a,b)$ noktasına yaklaşması söz konusu olduğunda durum tamamen değişir. $(x,y) \to (a,b)$ yaklaşımı, sadece $x$ veya $y$ ekseni boyunca veya iki çapraz doğrultuda olmak zorunda değildir; düzlem üzerindeki sonsuz sayıda yönden ve eğriden (doğru, parabol, sinüs eğrisi vb.) gerçekleşebilir.

Matematiksel (epsilon-delta) tanımı ile ifade edecek olursak: Her $\epsilon > 0$ sayısı için, öyle bir $\delta > 0$ bulunabilsin ki, $0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta$ iken $$ |f(x,y) - L| < \epsilon $$ eşitsizliği sağlanıyorsa, $f(x,y)$ fonksiyonunun $(x,y) \to (a,b)$ noktasındaki limiti $L$'dir denir ve $$ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L $$ şeklinde gösterilir.

Bu tanımın en çarpıcı sonucu şudur: Eğer fonksiyon farklı iki yol veya doğrultu üzerinden yaklaşırken farklı limit değerlerine ulaşıyorsa, o noktada limit yoktur.

Limit Yokluğu Nasıl Gösterilir?

Bir çok değişkenli fonksiyonda limitin var olduğunu (ve değerini) doğrudan epsilon-delta tanımıyla ispatlamak oldukça zordur. Fakat limitin olmadığını göstermek genellikle daha kolaydır. Eğer biz seçtiğimiz özel iki farklı yol boyunca limite yaklaştığımızda farklı sonuçlar bulursak, limitin olmadığını kesin olarak kanıtlamış oluruz.

Örnek: Doğrular Boyunca Yaklaşım

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ limitini inceleyelim. Bu fonksiyonda $(x,y) \to (0,0)$ noktasına yaklaşırken doğrudan $0/0$ belirsizliği elde edilir. Acaba limit gerçekten var mı? Yaklaşım yollarını kontrol edelim:

1. Yol: $y=0$ doğrusu (x-ekseni) boyunca yaklaşım. Bu durumda fonksiyon $y=0$ için $f(x,0) = \frac{x^2 - 0}{x^2 + 0} = \frac{x^2}{x^2} = 1$ olur ($x \neq 0$ için). O halde bu yol boyunca limit $1$'dir.

2. Yol: $x=0$ doğrusu (y-ekseni) boyunca yaklaşım. Bu durumda fonksiyon $x=0$ için $f(0,y) = \frac{0 - y^2}{0 + y^2} = \frac{-y^2}{y^2} = -1$ olur ($y \neq 0$ için). Bu yol boyunca limit $-1$'dir.

Farklı iki yoldan ($1 \neq -1$) farklı değerler elde edildiği için bu fonksiyonun orijinde limiti yoktur.

Genel $y = mx$ Doğruları Boyunca Yaklaşım

Çoğu durumda $y=mx$ şeklindeki tüm orijinden geçen doğrular boyunca fonksiyonu incelemek pratik bir yöntemdir. Örneğin $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ limitini düşünelim. Fonksiyonda $y = mx$ yazarsak: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^2}{x^2(1+m^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1+m^2} = \frac{m}{1+m^2} $$ Gördüğümüz gibi sonuç $m$'ye (yani yaklaşılan doğrunun eğimine) bağlı çıkmaktadır. Eğimi farklı doğrular (örneğin $m=1$ için $1/2$, $m=2$ için $2/5$) farklı limitler vereceği için limit yoktur.

Eğriler Boyunca Yaklaşım

Bazen tüm $y=mx$ doğruları boyunca yaklaşımlar aynı değeri verebilir, ancak parabol veya daha farklı bir eğri üzerinden yaklaştığımızda farklı bir değer çıkabilir. Örneğin $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ limitini ele alalım. Önce $y = mx$ boyunca yaklaşalım: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2(mx)}{x^4 + m^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^3}{x^2(x^2 + m^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{mx}{x^2 + m^2} $$ $x \to 0$ iken, pay sıfıra giderken payda $m^2$'ye gider, yani limit $0$ olur (eğer $m \neq 0$). Eğer $m=0$ (yani $x$ ekseni boyunca) alırsak $0/(x^4)$ olur yine limit $0$'dır. Bütün doğrular boyunca limit $0$'dır. Fakat, $y = x^2$ parabolü boyunca yaklaşırsak ne olur? $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2(x^2)}{x^4 + (x^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2} $$ Doğrular boyunca limit $0$ çıkmasına rağmen, parabolik bir yol izlediğimizde $1/2$ çıktı. İki farklı yoldan farklı sonuçlar bulunduğu için bu limit de yoktur.

Limit Kuralları ve Kutupsal Koordinatların Kullanımı

Eğer bir fonksiyon polinom, rasyonel fonksiyon (paydası sıfır olmayan) gibi elemanter bir fonksiyonsa, tek değişkenli fonksiyonlardaki tüm toplama, çıkarma, çarpma ve bölme limit kuralları iki değişkenli fonksiyonlarda da geçerlidir. Eğer limitin $0/0$ belirsizliğinden var olduğunu hissediyorsak, bunu göstermenin en güçlü yollarından biri kutupsal koordinatlara ($x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$) geçmektir. Böylece $(x,y) \to (0,0)$ durumu doğrudan $r \to 0$ durumuna indirgenir. Eğer ifade $r \to 0$ iken $\theta$'dan bağımsız şekilde bir limite gidiyorsa, limit vardır.

Örnek: $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3x^2 y}{x^2 + y^2}$ Kutupsal koordinatlara geçelim: $$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \implies x^2 + y^2 = r^2 $$ Fonksiyonda yerine yazarsak: $$ \lim_{r \to 0} \frac{3(r\cos\theta)^2 (r\sin\theta)}{r^2} = \lim_{r \to 0} \frac{3r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} = \lim_{r \to 0} (3r\cos^2\theta\sin\theta) $$ $r \to 0$ iken, $3r \to 0$ olur. $\cos^2\theta\sin\theta$ ifadesi sınırlı bir ifadedir (en fazla 1 olabilir). Sıfıra giden bir fonksiyon ile sınırlı bir fonksiyonun çarpımının limiti her zaman sıfırdır. Sıkıştırma (Sandwich) teoremi gereği, limit kesin olarak $0$'dır ve bu yaklaşım $\theta$'nın (yolun) ne olduğundan tamamen bağımsızdır.