Düzlemde İki Paralel Doğrunun İki Kesenle Oluşturduğu Şekiller

Bir önceki bölümümüzde iki paralel doğrunun sadece bir kesen ile kesilmesi sonucunda ortaya çıkan açıları ve bu açıların sahip olduğu özellikleri öğrenmiştik. Yöndeş açılar, iç ters ve dış ters açılar gibi kavramlar paralel doğruların dünyasını anlamamızı sağlamıştı. Şimdi işi bir adım daha ileri götürüyoruz ve geometrinin en keyifli noktalarından birine adım atıyoruz: Paralel iki doğruyu iki farklı kesen doğru ile kestiğimizde neler olur? Hangi geometrik şekiller, çokgenler karşımıza çıkar?

İki paralel doğruyu, birbirleriyle farklı noktalarda kesişebilen iki adet kesen doğruyla kestiğimizde düzlemde çok çeşitli ve bilindik geometrik şekiller elde ederiz. Bu şekillerin yapısı, kesen doğruların nerede kesiştiğine bağlı olarak değişir.

1. Kesenlerin Kesişim Noktalarına Göre Oluşan Şekiller

Geometride doğruların sonsuza kadar uzandığını biliyoruz. Kesen iki doğru (birbirlerine paralel değillerse) mutlaka bir noktada kesişecektir. Bu kesişim noktasının konumu, paralel doğrularımızla birlikte oluşturdukları şekli (çokgeni) belirler. Kesişim noktasının konumunu dört farklı durumda inceleyebiliriz:

Durum 1: Kesen Doğrular Paralel Doğrulardan Birinin Üzerinde Kesişirse

Eğer iki kesen doğru, birbirlerini tam olarak paralel doğrularımızdan (örneğin üstteki doğru) birinin üzerinde kesiyorsa, kapalı bir şekil oluşur. Bu kapalı şekil tam olarak 3 kenara sahip olacaktır. - Kesenlerin paralel doğru üzerindeki kesişim noktası, üçgenin tepe noktası (bir köşesi) olur. - Kesenlerin diğer paralel doğruyu kestiği iki farklı nokta ise üçgenin taban köşeleri olur. - Sonuç olarak düzlemde bir üçgen elde ederiz.

Durum 2: Kesen Doğrular Paralel Doğruların Arasında (İç Bölgede) Kesişirse

Eğer kesen doğrular paralel doğruların arasında (iç bölgesinde) bir noktada (X harfi gibi) çarprazlama kesişiyorsa, şeklimiz kum saatine veya papyona benzeyen bir yapı oluşturur. - Paralel doğrularımızdan üsttekinin üzerinde iki nokta, alttakinin üzerinde iki nokta ve ortada bir kesişim noktası vardır. - Bu durumda kesişim noktası tepe noktası olacak şekilde, paralel doğrular arasında tabanları birbirine paralel olan iki farklı üçgen oluşur. - Daha sonraki yıllarda detaylı göreceğiniz üzere, iç ters açılardan (Z kuralı) dolayı bu iki üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirinin aynısıdır ve aralarında bir benzerlik ilişkisi bulunur. Ters açıların (makas kuralı) kesişim noktasındaki açıları eşitlediğini de unutmayalım.

Durum 3: Kesen Doğrular Paralel Doğruların Dışında Kesişirse

Kesen doğrularımız paralel doğruların arasında değil de daha üstünde (veya daha altında) bir noktada birleşiyorsa, paralel doğruların arasında kalan kapalı bölge 4 kenarlı bir şekil olur. - Şeklin üst kenarı birinci paralel doğrudan, alt kenarı ikinci paralel doğrudan oluşur. Diğer iki kenar ise kesen doğruların parçalarıdır. - Karşılıklı en az iki kenarı (üst ve alt) birbirine paralel olan bu dörtgene yamuk adı verilir. - Yamuğun paralel olan kenarlarına 'taban' (alt taban ve üst taban), birbirine paralel olmayan diğer iki kenarına ise 'yan kenar' (veya bacak) denir. - Bir önceki konudaki 'U Kuralı'ndan dolayı, yamuğun her bir yan kenarı ile paralel tabanlar arasında oluşan ardışık iki açının toplamı daima $180^\circ$'dir.

Durum 4: Kesen Doğrular da Birbirine Paralelse (Hiç Kesişmiyorlarsa)

Eğer paralel iki doğrumuzu kesen iki doğru da kendi aralarında birbirine paralelse, bu doğrular asla kesişmeyecektir. Bu durumda paralel doğruların sınırladığı iç bölgedeki şekil karşılıklı ikişer kenarı birbirine paralel olan özel bir dörtgen oluşturur. - Hem alt-üst kenarlar hem de sağ-sol kenarlar birbirine paraleldir. - Bu şekilde oluşan dörtgene paralelkenar denir. (Bütün paralelkenarlar aynı zamanda özel bir yamuktur, çünkü en az bir çift paralel kenar şartını fazlasıyla sağlarlar).

2. Model Yorumlama ve Gözlem

Bu konunun en önemli becerisi, karmaşık bir çizimde veya haritada (örneğin birbirine paralel caddeleri kesen sokaklar) oluşan kapalı bölgeleri geometrik şekiller olarak görebilmektir.

[!TIP] Açılardan Çokgenlere Geçiş: İki paralel doğruyu kesen bir doğru ile oluşan yöndeş veya iç ters açı kurallarını, oluşan üçgen ve dörtgenlerin iç açılarını bulmakta kullanırız. Çokgenlerin tüm açı ve kenar özellikleri aslında bu paralel doğrular ve kesenlerin özelliklerinden doğar.

Uygulama - Kendi Çokgeninizi Çizin: Bir kağıda, cetvel yardımıyla birbirine paralel iki çizgi çekin. Ardından rastgele iki farklı doğru çizerek bu paralelleri kesin. 1. Kesişim noktasını bulup işaretleyin. 2. Kapalı şeklin kenarlarını renkli bir kalemle çizin. 3. Paralel doğrular yüzünden kapalı bölgenin içinde ortaya çıkan U kurallarını (ardışık açılar toplamı $180^\circ$) veya Z kurallarını (iç ters açılar) tespit edin.

3. Sık Karıştırılan Kavramlar

Yanlış Düşünce: "Paralel doğruların arasında her zaman dikdörtgen veya kare oluşur." Gerekçeli Düzeltme: Dikdörtgen veya kare oluşabilmesi için, kesen doğruların birbirine sadece paralel olması yetmez, aynı zamanda kesen doğruların ilk çizdiğimiz paralel doğrularla $90^\circ$'lik dik açıyla (dik olarak) kesişmeleri gerekir. Eğer kesenler eğik (dar veya geniş açıyla) geliyorsa oluşan şekil genel bir yamuk veya genel bir paralelkenar olur. Köşelerin dik açı olması özel bir durumdur.

4. Örnek İncelemesi

Örnek: Bir şehir planlamacısı, birbirine paralel ilerleyen Atatürk Caddesi ile Cumhuriyet Caddesi arasına kestirme bir yol yapmak istiyor. Birinci kestirme yol Atatürk Caddesinden $50^\circ$ açı ile ayrılıp Cumhuriyet caddesine bağlanıyor. İkinci kestirme yol ise Atatürk Caddesindeki aynı noktadan başlayarak Cumhuriyet Caddesine $60^\circ$ ile bağlanıyor. Bu caddeler ve kestirme yollar arasında oluşan geometrik şekil nedir? Çözüm: İki cadde birbirine paraleldir ($d_1 // d_2$). Kestirme yollar bu paralelleri kesen doğrulardır. Her iki kestirme yol da Atatürk Caddesi üzerindeki "aynı noktadan" başlamaktadır. Yani kesen doğruların kesişim noktası paralel doğrulardan birinin üzerindedir. (Durum 1). Bu sebeple caddeler ve kestirme yollar arasında kalan kapalı bölge bir üçgen şeklini alır. Bu üçgenin tepe noktası kestirmelerin başladığı yer, tabanı ise Cumhuriyet caddesi üzerinde kalan yoldur. İç ters açılar kullanılarak bu üçgenin iç açılarından ikisinin (taban açılarının) $50^\circ$ ve $60^\circ$ olduğu bulunur!

Paralel doğrular ve kesenlerin birleşimi, tüm çokgenleri inşa ettiğimiz bir iskelet gibidir. Sonraki konumuzda, oluşan bu şekillerden en temel olanının, yani üçgenin açı özelliklerini daha derinlemesine inceleyeceğiz.