Dörtgenlerin Özellikleri

Dört noktası olan, dört kenarı ve dört açısı bulunan kapalı şekillere dörtgen denir. Tıpkı insanlarda olduğu gibi dörtgenler de kendi içlerinde ailelere ayrılırlar ve birbirleriyle akrabalık ilişkileri vardır. Bazı dörtgenlerin hiçbir özelliği ve kuralı yoktur (çeşitkenar dörtgen), bazıları ise birbirine paralel kenarlara, eşit açılara ve köşegen özelliklerine sahiptir. Bu bölümümüzde en çok karşımıza çıkan 5 temel özel dörtgenin (Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen ve Kare) kenar, açı ve köşegen özelliklerini keşfedeceğiz.

1. Dörtgenlerin İç Açıları Toplamı

Tüm dörtgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı daima $360^\circ$'dir. Peki neden? Bunu üçgenleri kullanarak kanıtlayabiliriz. Rastgele bir dörtgen çizin ve karşılıklı iki köşesini düz bir çizgi ile birleştirin. Çizdiğiniz bu çizgiye köşegen denir. Bir köşegen, herhangi bir dörtgeni tam iki adet üçgene ayırır. Bir üçgenin iç açılarının toplamının $180^\circ$ olduğunu biliyoruz. O halde 2 adet üçgenin iç açılarının toplamı $2 \times 180^\circ = 360^\circ$ yapar! Dış açılarının ölçüleri toplamı da, tıpkı diğer tüm çokgenlerde olduğu gibi $360^\circ$'dir.

2. Yamuk

Karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri paralel olan dörtgenlere yamuk denir. - Kenar Özellikleri: Alt taban ve üst taban dediğimiz iki kenarı birbirine paraleldir. Diğer iki yan kenarı paralel değildir. - Açı Özellikleri: İki paralel doğruyu kesen bir doğru kuralı olan "U Kuralı" yamuk için birebir geçerlidir. Paralel olan alt taban ve üst taban arasında kalan ve aynı yanal kenar üzerindeki komşu iki açının (altlı-üstlü) toplamı daima $180^\circ$'dir. Karşılıklı veya yan yana olan diğer açılar arasında eşitlik kuralı yoktur (ikizkenar yamuk hariç). - Köşegen Özellikleri: Köşegen uzunlukları birbirinden farklıdır ve birbirlerini ortalamazlar.

3. Paralelkenar

Karşılıklı ikişer kenarı birbirine paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. Bir yamuğun her iki kenar çiftinin paralel olduğu özel bir türüdür. - Kenar Özellikleri: Karşılıklı kenarları hem paraleldir hem de uzunlukları birbirine eşittir. - Açı Özellikleri: Karşılıklı çapraz açıların ölçüleri birbirine eşittir. Paralel olmalarından (U Kuralından) dolayı, ardışık iki iç açısının (yan yana olan açıların) toplamı $180^\circ$'dir. - Köşegen Özellikleri: İki köşegeni vardır. Bu köşegenlerin uzunlukları birbirinden farklıdır ancak kesiştikleri noktada birbirlerini ortalarlar (tam orta noktalarından kesişirler, yani bir köşegen diğerini iki eşit parçaya böler).

4. Eşkenar Dörtgen

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. - Kenar Özellikleri: Karşılıklı kenarları paraleldir ve dört kenarının uzunluğu da birbirine tamamen eşittir. Adeta bir paralelkenarın kenarlarının eşitlenmiş, baklava dilimi haline gelmiş versiyonudur. - Açı Özellikleri: Paralelkenarın tüm açı özelliklerini taşır. Karşılıklı açılar eşittir, ardışık açılar toplamı $180^\circ$'dir. - Köşegen Özellikleri: Köşegen uzunlukları birbirinden farklıdır ve birbirlerini ortalarlar. Ancak paralelkenardan farklı olarak, köşegenler birbirleriyle $90^\circ$'lik dik açıyla kesişirler. Aynı zamanda köşegenler, geçtikleri köşelerdeki açıları tam ikiye bölen birer açıortaydır.

5. Dikdörtgen

Bütün iç açılarının ölçüsü $90^\circ$ (dik açı) olan paralelkenara dikdörtgen denir. - Kenar Özellikleri: Karşılıklı kenarları paralel ve uzunlukları birbirine eşittir. - Açı Özellikleri: Tüm iç açıları dik açıdır ($90^\circ$). Karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar $180^\circ$ (90+90) özelliklerini zaten sağlar. - Köşegen Özellikleri: Paralelkenardan farklı olarak, köşegen uzunlukları birbirine eşittir! Aynı zamanda köşegenler birbirini ortalar. Ancak köşegenler dik kesişmez ve açıortay değillerdir.

6. Kare

Hem bütün kenar uzunlukları birbirine eşit hem de bütün açıları $90^\circ$ olan mükemmel dörtgene kare denir. Kare; dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin tüm iyi özelliklerini kendinde toplamış, kuralları kusursuz sağlayan özel bir dörtgendir. - Kenar Özellikleri: Tüm kenarları eşit ve karşılıklı kenarları paraleldir. - Açı Özellikleri: Tüm açıları $90^\circ$'dir. - Köşegen Özellikleri: Karede her şey eşittir. Köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenler birbirini ortalar. Köşegenler dik kesişir ($90^\circ$). Köşegenler bulundukları köşedeki $90^\circ$'lik açıları ikiye bölen açıortaydır (45° - 45°).

[!TIP] Köşegen Özellikleri Özeti - Köşegenleri ortalayanlar: Paralelkenar, Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen, Kare. (Yamuk hariç hepsi). - Köşegenleri eşit olanlar: Dikdörtgen, Kare. (İsmi "dik" ve "kare" gibi köşeleri belirgin olanlar). - Köşegenleri dik kesişenler: Eşkenar Dörtgen, Kare. (Kenar uzunlukları dört taraftan eşit olanlar ortadan sıkıştığı için dik kesişir).

7. Dörtgenler Arasındaki Akrabalık Bağları

Bu konudaki en önemli ve en çok sorulan kavram "kim kimin özel halidir?" sorusudur. Dörtgenleri dededen toruna doğru bir aile ağacı gibi düşünebilirsiniz: 1. En büyük dede Yamuktur (sadece altı üstü paralel olan). 2. Yamuğun sağını solunu da paralel yaparsak Paralelkenar elde ederiz. Yani her paralelkenar aslında bir yamuktur. 3. Paralelkenarın tüm açılarını dik (90°) yaparsak Dikdörtgen olur. Her dikdörtgen, özel bir paralelkenardır. 4. Paralelkenarın tüm kenarlarını eşitlersek Eşkenar Dörtgen olur. Her eşkenar dörtgen özel bir paralelkenardır. 5. Hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin özelliklerini birleştirirsek Kare olur. Kare; özel bir dikdörtgen, özel bir eşkenar dörtgen, özel bir paralelkenar ve özel bir yamuktur!

Yanlış Düşünce: "Bütün kareler dikdörtgen değildir çünkü dikdörtgenlerin iki kenarı uzun, iki kenarı kısadır." Gerekçeli Düzeltme: Dikdörtgenin tanımında "karşılıklı kenarları eşit olmalı" ve "açıları 90 derece olmalı" yazar. "Kenarlar illa ki uzun-kısa olmalıdır" diye bir zorunluluk yoktur. Kare, karşılıklı kenarları eşit olma (çünkü hepsi eşit) ve 90 derece olma kuralını sağlar. Bu yüzden kare, dikdörtgenin şartlarını sağlayan kusursuz ve özel bir dikdörtgendir. Ancak her dikdörtgen kare değildir.

8. Örnek Soru

Örnek: Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin $A$ köşesindeki açısının ölçüsü $70^\circ$'dir. Buna göre diğer iç açılarının ölçülerini ve bir dış açısının ölçüsünü bulunuz. Çözüm: Eşkenar dörtgen, bir paralelkenardır ve karşılıklı açıları eşittir. - Karşısında bulunan çapraz köşe olan $C$ açısı da $70^\circ$'dir. Ardışık (komşu) açıların toplamı ise $180^\circ$'dir (U kuralı). - A açısı ile ardışık olan $B$ açısı: $180 - 70 = 110^\circ$ olur. - Karşılıklı eşitlikten dolayı $D$ açısı da $110^\circ$'dir. Herhangi bir köşedeki dış açı ise iç açıyı 180'e tamamlar. Örneğin B köşesinin dış açısı $180 - 110 = 70^\circ$ olacaktır.