Dikdörtgenin Alanı
Geometride çevre, bir şeklin sınırlarının uzunluğu ile ilgilenirken; alan, şeklin sınırlarının içinde kalan bölgenin büyüklüğünü ifade eder. Yani çevre "etrafını dolaşmak" ise, alan "içini doldurmak" anlamına gelir. Bir duvarı boyamak, zemine halı sermek, tarlaya tohum ekmek ya da bir defter kapağını renkli kağıtlarla kaplamak istediğimizde hesaplamamız gereken değer "alan"dır.
Alan Nedir ve Nasıl Ölçülür?
Alan, iki boyutlu bir düzlem üzerinde kaplanan yer miktarıdır. Bir yüzeyin ne kadar büyük olduğunu bulmak için, o yüzeyi önceden bildiğimiz standart bir şekil ile tamamen kaplamamız gerekir. Boşluk bırakmadan ve üst üste gelmeyecek şekilde şekli doldurma işlemine "alan ölçme" diyoruz.
Peki, yüzeyleri neyle kaplayacağız? Standart olmayan ölçü birimleri olarak fayans, karton parçası, oyun zarı veya el işi kağıdı kullanabiliriz. Ancak herkesin kartonunun veya fayansının büyüklüğü farklıdır. Bu yüzden matematikte evrensel olarak birim kareler kullanılır.
Bir birim kare, kenar uzunlukları 1 birim olan bir karedir (Örneğin, kenarları $1 \text{ cm}$ olan bir kare $1 \text{ cm}^2$'lik bir birim karedir). Bir dikdörtgenin alanını bulmak demek, "Bu dikdörtgenin içine bu birim karelerden kaç tane sığar?" sorusuna cevap vermek demektir.
Dikdörtgenin Alanını Bulmak: Birim Kareleri Saymak
Bir masa hayal edin ve bu masanın üzerini, kenar uzunluğu $1 \text{ birim}$ olan kare şeklinde peçetelerle kapladığımızı düşünün.
Kısa kenar boyunca 4 peçete yan yana sığsın. Bu bir satır oluşturur. Uzun kenar boyunca ise bu satırlardan tam 6 tane sığsın.
Oluşan şeklin alanını bulmak için masadaki toplam peçete sayısını tek tek sayabiliriz. $1, 2, 3, \dots$ diyerek saydığımızda toplamda 24 peçete olduğunu görürüz. Yani masanın alanı 24 birim karedir.
Ancak bir futbol sahasının alanını birim kareleri tek tek sayarak bulmak saatlerimizi alır. İşte matematik, bu tekrarlı ve uzun işlemleri pratik hale getirmek için vardır.
Dikdörtgenin Alan Formülü
Birim kareleri sayarken aslında fark etmeden satır ve sütunlar oluşturduk. Dikdörtgenin alanı aslında basit bir çarpma işleminden ibarettir. Satırdaki birim kare sayısı ile sütundaki birim kare sayısını çarptığımızda toplamı elde ederiz. Bu, aynı zamanda kısa kenar ile uzun kenarın çarpılması demektir.
Bir dikdörtgenin kısa kenarı $a$, uzun kenarı $b$ ise, alanı ($A$) şu şekilde hesaplanır:
$$A = a \cdot b$$
Kural: Dikdörtgenin alanı, iki ardışık kenarının (bir kısa ve bir uzun kenarının) uzunluklarının çarpımına eşittir.
Birimler Çok Önemli!
Çevre ölçümünde sadece $cm$ veya $m$ kullanıyorduk. Alan ölçerken iki boyutu (en ve boy) birbiriyle çarptığımız için birimler de birbiriyle çarpılır. - Santimetre ile santimetreyi çarparsak sonuç santimetrekare ($cm^2$) olur. - Metre ile metreyi çarparsak sonuç metrekare ($m^2$) olur.
Bu "kare" eki, içinde o boyutlarda kareler olduğunu ifade eder. Yani alanınız $15 \text{ cm}^2$ ise, bu şeklin içine kenarı $1 \text{ cm}$ olan tam 15 tane küçük kare sığdırabilirsiniz demektir. Çevrede olduğu gibi alanda da işlem yapmadan önce verilen tüm kenar ölçülerinin aynı birimde (örneğin ikisinin de $m$ cinsinden) olduğundan emin olmalısınız.
Örnek: Kısa kenarı $5 \text{ m}$, uzun kenarı $12 \text{ m}$ olan dikdörtgen şeklinde bir havuzun tabanına fayans döşenecektir. Havuzun taban alanı ne kadardır? Kısa kenar ($a$) = $5 \text{ m}$ Uzun kenar ($b$) = $12 \text{ m}$ Alan = $5 \cdot 12 = 60 \text{ m}^2$ dir. (Yani havuzun tabanına 1 metrekarelik fayanslardan tam 60 tane sığar.)
Bilinmeyen Kenarı Alanı Kullanarak Bulmak
Problemlerde her zaman her iki kenar verilip alan sorulmaz. Bazen bize alanın kendisi ve sadece bir kenar uzunluğu verilebilir. Diğer kenarı bulmak için çarpma işleminin tersi olan bölme işleminden yararlanırız.
Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar $\cdot$ Uzun Kenar olduğuna göre;
- Uzun kenar = Alan $\div$ Kısa Kenar
- Kısa kenar = Alan $\div$ Uzun Kenar
Örnek: Alanı $84 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgenin kısa kenarı $7 \text{ cm}$ ise uzun kenarı kaç $cm$'dir? Uzun Kenar = $84 \div 7 = 12 \text{ cm}$ olarak bulunur. Kontrol edelim: $7 \cdot 12 = 84 \text{ cm}^2$. İşlemimiz doğrudur.
Aynı Alana Sahip Farklı Dikdörtgenler
Tıpkı çevre hesaplamasında gördüğümüz gibi, alanı aynı olan birbirinden tamamen farklı dikdörtgenler çizebiliriz. Bunu bir bulmaca gibi düşünebilirsiniz. Alanı $24 \text{ birimkare}$ olan dikdörtgenleri düşünelim. İki sayının çarpımının 24 olması gerekir. 24'ün çarpanlarını bulalım:
- $1 \cdot 24 = 24$ (Kısa kenar 1, uzun kenar 24 olan çok ince, şerit gibi bir dikdörtgen)
- $2 \cdot 12 = 24$
- $3 \cdot 8 = 24$
- $4 \cdot 6 = 24$ (Birbirine daha yakın kenarlar, daha "kareye yakın" bir görünüm sağlar)
Bu dikdörtgenlerin dördü de kağıt üzerinde farklı görünür, çevre uzunlukları birbirinden farklıdır ancak içlerine sığdırılan birim kare sayısı hepsinde tam olarak 24'tür.
Evinizin zeminine 12 metrekarelik bir halı alacaksınız diyelim. Sadece alanını bilmek halının odanıza sığacağı anlamına gelmez. Halı $2 \text{m} \times 6 \text{m}$ boyutlarında uzun bir yolluk da olabilir, $3 \text{m} \times 4 \text{m}$ boyutlarında standart bir dikdörtgen halı da olabilir. Alan bize kaplanan yeri verir, ama şeklin nasıl dağıldığını ancak kenar uzunlukları belirler.
Günlük Hayatta Alan Hesaplaması Ne İşe Yarar?
Dikdörtgenin alan hesaplaması en çok karşımıza çıkan pratik matematik uygulamalarından biridir.
- İnşaat ve Boyama: Odanızın duvarını boyayacaksanız, boyanın kaç metrekarelik bir yüzeye yeteceğini kutusundan okursunuz. Odanın yüksekliği ile genişliğini çarparak duvarın alanını bulur ve kaç kutu boya alacağınıza karar verirsiniz.
- Kumaş ve Kağıt Kesimleri: Bir hediye kutusunu kaplamak için ne kadar ambalaj kağıdına ihtiyacınız olduğunu alan hesaplayarak bulursunuz.
- Piksel Sanatı ve Dijital Ekranlar: Telefonunuzun, tabletinizin veya televizyonunuzun ekranı aslında milyonlarca minik birim kareden (piksellerden) oluşan kocaman bir dikdörtgendir. Ekran çözünürlüğü (örneğin $1920 \times 1080$), en ve boydaki piksel sayılarının çarpımıdır ve o ekranın alanını piksel cinsinden ifade eder.
Alan hesaplamaları, sahip olduğumuz sınırlı yüzeyleri veya bölgeleri en verimli şekilde nasıl değerlendireceğimizi bulmamızı sağlar. Bir şeyin içini dolduracaksan, üstünü örteceksen ya da ne kadar geniş bir yer tuttuğunu ölçeceksen alan kurallarını bilmelisin!