Dörtgenlerde Açı Özellikleri

Dışbükey ve İçbükey Dörtgen

Her bir iç açısının ölçüsü 180°den küçük olan veya köşegenleri dörtgenin iç bölgesinde bulunan dörtgenlere dışbükey dörtgen; herhangi bir iç açısının ölçüsü 180°den büyük olan veya köşegenlerinden biri dörtgenin dış bölgesinde bulunan dörtgenlere içbükey dörtgen denir. Matematik derslerinde incelenen dörtgenler ve kullanılan dörtgen ifadeleri (yamuk, paralelkenar, dikdörtgen, kare vb.) dışbükey dörtgenler için geçerlidir.

Bir Dörtgenin İç Açılarının Ölçüleri Toplamı

Önerme: Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360°'dir. İspat: ABCD dörtgeninde AC köşegeni çizilerek dörtgen ABC ve ACD olmak üzere iki üçgene ayrılır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, iki üçgenin iç açıları toplamı 360° olur; bu toplam, tam olarak ABCD dörtgeninin dört iç açısının (A, B, C, D) toplamına eşittir. Böylece m(A)+m(B)+m(C)+m(D) = 360° elde edilir. Benzer şekilde bir dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı da 360°'dir.

Örnek: ABCD dörtgeninde A, B, C, D köşelerindeki dış açı ölçüleri sırasıyla 3x+5°, 5x-40°, 90°, 105° olarak veriliyorsa: dış açılar toplamı 360° olduğundan 3x+5°+5x-40°+90°+105°=360° ⟹ 8x+160°=360° ⟹ x=25°.

Açıortay Yardımıyla Elde Edilen Açı Özellikleri

Önerme 1: Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının kesişimi ile oluşan açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir. ABCD dörtgeninde AE ve BE sırasıyla DAB ve ABC açılarının açıortayları ise: m(AEB) = [m(C)+m(D)] / 2.

İspat fikri: ABE üçgeninin iç açıları toplamından m(E)+m(A)/2+m(B)/2=180°; ABCD dörtgeninin iç açıları toplamından [m(A)+m(B)+m(C)+m(D)]/2=180°; bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılınca m(E)=[m(C)+m(D)]/2 bulunur.

Önerme 2: Bir dörtgende karşı iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu dar açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir. ABCD dörtgeninde BF ve DG sırasıyla A ve C açılarının iç açıortayları ise: m(BEG) = |m(A)−m(C)| / 2.

Uygulama örneği: Bir radar sisteminde A ve C konumlarındaki uçaklar, bulundukları köşeyi oluşturan komşu kenarlara eşit uzaklıkta (yani köşenin açıortayı üzerinde) ilerlemektedir. B ve D köşelerindeki açılar sırasıyla 75° ve 115° ise, uçakların rotalarının E noktasında kesiştiği dar açı: (115°−75°)/2 = 20°.

Dörtgende Eş Kenarlı Açı Problemi Örneği

ABCD dörtgeninde AB=AD, BC=DC (yani bir deltoid), m(D)=110° ve m(A)=2·m(C)+20° veriliyorsa: AB=AD ve BC=DC olduğundan m(B)=m(D)=110°'dir (deltoidin simetri özelliği). İç açılar toplamından m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=360° ⟹ [2m(C)+20°]+110°+m(C)+110°=360° ⟹ 3m(C)+240°=360° ⟹ m(C)=40°. Buradan m(A)=2(40°)+20°=100° bulunur.

Özet

• Dışbükey dörtgende her iç açı 180°'den küçüktür ve köşegenler iç bölgede kalır; içbükey dörtgende en az bir iç açı 180°'den büyüktür. Matematikte incelenen özel dörtgenler (yamuk, paralelkenar, dikdörtgen, kare vb.) dışbükeydir.
• Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir (köşegenle iki üçgene bölünerek ispatlanır); dış açılar toplamı da 360°'dir.
• Komşu iki açının açıortaylarının kesiştiği açı, diğer iki açının toplamının yarısına eşittir [m(E)=(m(C)+m(D))/2]; karşılıklı iki açının açıortaylarının oluşturduğu dar açı, diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısına eşittir [m(E)=|m(A)-m(C)|/2].