Koşullu Olasılık Tanımı ve Hesaplanması

Koşullu Olasılık Tanımı

A ve B, aynı örnek uzayda gerçekleşen iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması hâlinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının B olayına göre koşullu olasılığı denir ve P(A|B) şeklinde gösterilir.

$$P(A|B) = \frac{\text{B olayının içinde gerçekleşmesi istenen A olayına ait çıktıların sayısı}}{\text{Gerçekleşmiş B olayının tüm çıktılarının sayısı}}$$

Koşullu olasılıkta, örnek uzay B olayının gerçekleştiği bilgisiyle daralır; hesaplama bu daralmış (koşullanmış) örnek uzay üzerinden yapılır.

Uygulama Örneği: Yabancı Dil Sınavı Başarısı

Bir sınıfta 36 erkek, 24 kız öğrenci vardır. Erkeklerin yarısı (18), kızların üçte biri (8) yabancı dil sınavından yeterli puan alamamıştır; bu durumda 18 erkek ve 16 kız (toplam 34 öğrenci) başarılıdır. Başarılı öğrenciler arasından seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı: P(A|B) = 18/34 = 9/17 (B: başarılı olma, A: erkek olma). Bu sonuç, doğrudan tablo üzerinden (başarılı öğrenciler arasında erkek sayısı / toplam başarılı sayısı) de bulunabilir — iki yöntem aynı sonucu verir.

Uygulama Örneği: Ağaç Şeması ile Koşullu Olasılık

Sıla, üç arkadaşına (Asu, Buse, Canan) bir müze gezisi teklif eder; her biri "Evet" veya "Hayır" der. Sıla'nın müzeyi ziyaret ettiği bilindiğinde (yani en az 2 arkadaşı "Evet" dediğinde), bu ziyaretin 3 arkadaşıyla (hepsinin "Evet" demesiyle) gerçekleşmiş olma olasılığı: ağaç şemasında en az 2 "Evet" içeren 4 durum vardır (EEE, EEH, EHE, HEE); bunlardan yalnızca 1 tanesinde (EEE) üç kişi de evet demiştir. P(A|B) = 1/4.

Uygulama Örneği: Alan Modeli ile Koşullu Olasılık (Fırıncı Ekmek Dağıtımı)

Bir fırıncı günde 200 buğday, 300 çavdar ekmeği üretir; buğdayın 1/4'ünü, çavdarın 2/5'ini B marketine gönderir. B marketine giden bir ekmeğin buğday ekmeği olma olasılığı alan modeliyle çözülür: B'ye giden buğday sayısı 200·(1/4)=50, çavdar sayısı 300·(2/5)=120; toplam B'ye giden ekmek 50+120=170. P(buğday|B marketi) = 50/170 = 5/17.

Bu problemde alan modeli, toplam ekmek sayısını temsil eden bir dikdörtgeni buğday/çavdar oranına göre bölüp, her bölgeyi de market dağılım oranına göre alt bölgelere ayırarak koşullu olasılığı görsel olarak hesaplamayı sağlar — özellikle birden fazla kategori ve alt kategori içeren karmaşık koşullu olasılık problemlerinde etkilidir.

Özet

• Koşullu olasılık P(A|B), B olayının gerçekleştiği bilgisiyle daralan örnek uzayda A olayının gerçekleşme oranını verir; formül olarak B içindeki A çıktılarının sayısının, B'nin toplam çıktı sayısına bölümüdür.
• Bu kavram, bir alt gruba (başarılı öğrenciler, en az iki "evet" cevabı alan durumlar gibi) ait bilgiyle sınırlandırılmış durumlarda belirli bir özelliğin (erkek olma, üç kişiyle gitme gibi) olasılığını hesaplamada kullanılır.
• Karmaşık, çok kategorili koşullu olasılık problemleri (fırıncı-market dağıtımı gibi), alan modeli (dikdörtgenleri kategorilere göre bölme) yöntemiyle görselleştirilerek daha kolay çözülebilir; bu yöntem tablo yöntemiyle aynı sonucu verir.