Bağımlı ve Bağımsız Olaylar, Bağımsız Olayların Olasılığı

Bağımlı ve Bağımsız Olay Tanımı

İki olaydan herhangi birinin olasılığı diğer olayın gerçekleşmesine bağlı olarak değişmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar, değişiyorsa bağımlı olaylar denir.

Örnek — Bağımlı olay: Bir torbada 3 kırmızı, 4 yeşil top varken, geri koymamak şartıyla art arda çekilen iki topun renkleri bağımlıdır — birinci topun rengi, ikinci çekilişteki torbanın içeriğini (ve dolayısıyla olasılıkları) değiştirir.

Örnek — Bağımsız olay: 1'den 10'a kadar numaralandırılmış kartlardan, çekilen kart geri konularak art arda iki kart çekildiğinde, ikinci çekilişin sonucu birinciden etkilenmez — bu iki olay bağımsızdır. Örneğin birinci kartın 6'dan küçük olması (A olayı, çıktıları 1-5) ile ikinci kartın asal sayı olması (B olayı, çıktıları 2,3,5,7) birbirinden bağımsızdır; her iki olayın olasılığı ayrı ayrı hesaplanıp çarpılarak birleşik olasılık bulunur.

Bağımsız Olayların Olasılığı

A ve B bağımsız iki olay olmak üzere A∩B (her ikisinin birlikte gerçekleşmesi) olayının olasılığı, A olayının olasılığı ile B olayının olasılığının çarpımıdır:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Uygulama Örneği: Sayı Küpü — "Ve" ve "Veya" Olasılıkları

Hilesiz bir sayı küpünde A: "2'den büyük olma" (3,4,5,6), B: "tek sayı olma" (1,3,5) olsun. P(A)=4/6=2/3, P(B)=3/6=1/2.

a) 2'den büyük VE tek sayı olma: A∩B olayıdır (bağımsız olarak ele alınır burada çünkü aynı atıştaki farklı özellikler): P(A∩B)=P(A)·P(B)=(2/3)·(1/2)=1/3.

b) 2'den büyük VEYA tek sayı olma: A∪B olayıdır: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=2/3+1/2−1/3=5/6.

Uygulama Örneği: Bağımsız Olaylar ve Koşullu Olasılığın Birlikte Kullanımı (Tangram Ödülü)

Ferda'nın ödül alma olasılığı 1/3, Zehra'nınki 2/5'tir (bağımsız olaylar).

a) İkisinin birlikte ödül alması: P(A∩B)=P(A)·P(B)=(1/3)·(2/5)=2/15.

b) Sadece birinin ödül alması: "Ferda alır Zehra almaz" VEYA "Zehra alır Ferda almaz": Ferda'nın almama olasılığı 1−1/3=2/3; Zehra'nın almama olasılığı 1−2/5=3/5. Sonuç: (1/3)·(3/5) + (2/3)·(2/5) = 3/15+4/15 = 7/15.

c) Sadece bir kişinin ödül aldığı bilindiğinde, bu kişinin Zehra olma olasılığı: B: "sadece biri ödül alır", A: "Zehra ödül alır" olsun. P(A|B) = [Zehra alır, Ferda almaz olasılığı] / [sadece birinin alma olasılığı] = [(2/5)·(2/3)] / (7/15) = (4/15)/(7/15) = 4/7.

Bu örnek, bağımsız olayların olasılık çarpım kuralı ile koşullu olasılık formülünün birlikte nasıl kullanılabileceğini gösterir: önce bağımsız olayların birleşik olasılıkları hesaplanır, sonra bu değerler koşullu olasılık formülünde pay ve payda olarak kullanılır.

Özet

• İki olayın bağımsız olması, birinin gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını etkilememesi anlamına gelir (kart geri konularak çekilmesi gibi); bağımlı olaylarda ise birinci olayın sonucu ikincinin olasılığını değiştirir (top geri konulmadan çekilmesi gibi).
• Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, tek tek olasılıklarının çarpımına eşittir: P(A∩B)=P(A)·P(B); "veya" durumları için ise P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) toplama kuralı kullanılır.
• Karmaşık problemlerde (örneğin "sadece bir kişinin başarılı olduğu bilindiğinde, başarılı olanın kim olduğu" türü sorular), önce bağımsız olayların çarpım kuralıyla ilgili olasılıklar hesaplanır, ardından bu sonuçlar koşullu olasılık formülüne (P(A|B)) yerleştirilerek nihai cevaba ulaşılır.