Yatay Doğrultuda Sabit İvmeyle Hareket Eden Cisimlerin Hareketi

Sürücüler, şehir içinde seyir hâlindeyken trafik lambaları, yayalar ve trafik yoğunluğu gibi sebeplerle araçlarının hızını sık sık değiştirmek zorunda kalır. Araçların sabit hızla değil ivmeli hareket etmesi, motorun daha fazla enerji harcamasına ve daha fazla yakıt tüketmesine neden olur; bu nedenle şehir içindeki ana arterlerde araçların mümkün olduğunca sabit hızda ilerlemesini sağlayan yeşil dalga sistemi gibi uygulamalar geliştirilmiştir. Sabit ivmeli hareketin matematiksel modelini anlamak, bu tür hareketlerin analizinde temel oluşturur.

Hız-Zaman İlişkisi

Pozitif yönde giden bir aracın hız değişimi pozitif olduğunda ivmesi pozitif, hız değişimi negatif olduğunda ivmesi negatiftir. t = 0 anında v₀ ilk hızıyla geçen ve sabit ivmeyle hareket eden bir cismin hızı, ivmenin matematiksel modelinden (a = Δv/Δt) türetilerek şu şekilde ifade edilir:

v = v₀ + a · t

Bu denklem, cismin herhangi bir t anındaki hızını, ilk hızı ve ivmesi biliniyorsa hesaplamayı sağlar. Grafik üzerinde bu denklem, v-t grafiğinde v₀'dan başlayan ve eğimi ivmenin büyüklüğüne eşit olan bir doğru ile temsil edilir.

Yer Değiştirme-Zaman İlişkisi

v-t grafiğinin yatay eksenle arasında kalan alan hesaplanarak cismin yatay doğrultuda yapmış olduğu yer değiştirme bulunabilir. v = v₀ + a·t denkleminden yararlanılarak, yer değiştirme için iki farklı ama birbirine denk matematiksel model elde edilir:

Δx = ((v + v₀) / 2) · t (ortalama hız ile zamanın çarpımı)

x = v₀ · t + (1/2) · a · t² (v = v₀ + a·t ifadesinin yer değiştirme denkleminde yerine yazılmasıyla elde edilir)

Zıt yönlerde sabit ivmeyle yavaşlayan iki aracın x-t, v-t ve a-t grafikleri incelendiğinde: bir aracın hız değişimi negatifse ivmesi negatiftir (yavaşlıyordur), diğerinin hız değişimi pozitifse ivmesi pozitiftir. Bu durum, "ivmenin işareti hareketin hızlanma mı yavaşlama mı olduğunu değil, hızın yönüyle karşılaştırıldığında hangi yönde değiştiğini gösterir" ilkesini somutlaştırır.

Örnek: Koşucunun v-t Grafiğinden x-t ve a-t Grafiklerinin Elde Edilmesi

t = 0 anında x = 0 konumundan koşmaya başlayan bir koşucunun v-t grafiğinde hız değerleri 0. s'de 0 m/s, 6. s'de 4 m/s, 12. s'de 8 m/s, 18. s'de 12 m/s'dir.

Yer değiştirmenin hesaplanması: Her bir zaman aralığındaki ortalama hız ile geçen sürenin çarpımından (Δx = v_ortalama · Δt) yararlanılır: - (0-6) s aralığında: Δx₁ = ((0+4)/2) · 6 = 12 m - (6-12) s aralığında: Δx₂ = ((4+8)/2) · 6 = 36 m - (12-18) s aralığında: Δx₃ = ((8+12)/2) · 6 = 60 m

Bu değerler birikimli olarak eklendiğinde koşucunun konumu 6. s'de 12 m, 12. s'de 48 m, 18. s'de 108 m olur; x-t grafiği giderek dikleşen bir eğri (ivmeli harekete özgü) şeklinde çizilir.

İvmenin hesaplanması: c-t grafiğine göre her 6 saniyelik aralıkta hız değişimi sabit olarak 4 m/s'dir (4−0, 8−4, 12−8). Bu durumda koşucunun ivmesi a = Δv/Δt = 4/6 = 2/3 m/s² olarak sabit bulunur; a-t grafiği yatay bir doğru olur.

Örnek: Ralli Aracının Hızlanma ve Yavaşlama Aşamaları

Yarış pistinde antrenman yapan bir sporcunun aracına ait v-t grafiğinde araç t = 0'da durgun hâldeyken 2t anında 2v hızına ulaşmakta, 4t anında ise tekrar hızı sıfıra düşmektedir.

Hareketin yorumu: (0-2t) aralığında grafik yatay eksenin üstünde olduğundan araç pozitif yönde düzgün hızlanan hareket yapar; (2t-4t) aralığında ise araç yine pozitif yönde ilerlemeye devam ederken hızı azaldığından düzgün yavaşlayan hareket yapar.

İvmelerin hesaplanması: (0-2t) aralığında ivme a₁ = (2v−0)/(2t−0) = v/t; (2t-4t) aralığında ivme a₂ = (0−2v)/(4t−2t) = −v/t olarak bulunur — büyüklükleri eşit, işaretleri terstir (biri hızlanma, diğeri yavaşlama).

Yer değiştirmelerin hesaplanması: x = v₀·t + (1/2)·a·t² modeli kullanılarak (0-2t) aralığındaki yer değiştirme x₁ = (1/2)·a·(2t)² = 2·a·t² olarak, (2t-4t) aralığındaki yer değiştirme de aynı büyüklükte (x₂ = x₁) bulunur; toplam yer değiştirme x₁ + x₂ = 2x₁'dir. Bu sonuç, sabit ivmeyle simetrik hızlanma-yavaşlama içeren hareketlerde her iki aşamanın da aynı miktarda yer değiştirmeye karşılık gelebileceğini gösterir.

Özet

• Sabit ivmeli hareketin temel matematiksel modelleri: v = v₀ + a·t (hız-zaman ilişkisi), Δx = ((v+v₀)/2)·t ve x = v₀·t + (1/2)·a·t² (yer değiştirme-zaman ilişkisi).
• v-t grafiğinin eğimi ivmeyi, grafik ile yatay eksen arasındaki alan ise yer değiştirmeyi verir; bu ilişkiler karmaşık (birden fazla aşamalı) hareketlerde her aşama için ayrı ayrı uygulanabilir.
• Aynı büyüklükte fakat zıt işaretli ivmeler, biri hızlanma diğeri yavaşlama olan simetrik hareket aşamalarını tanımlayabilir; bu aşamalardaki yer değiştirmeler aynı matematiksel modelle hesaplanır.