Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Soru Çözümü - Konu Testi | Mühendislik Ortak Dersleri Matematik 2 — Sincap Eğitim

Question 1

Kartezyen koordinatları $(1, \sqrt{3})$ olan noktanın kutupsal koordinatları $(r, 	heta)$ aşağıdakilerden hangisidir?

Accepted Answer

$(2, \pi/3)$

Question 2

İki katlı integrallerde kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara geçiş yapılırken alan elemanı $dA = dx \, dy$ yerine ne yazılmalıdır?

Accepted Answer

$r \, dr \, d	heta$

Question 3

$x^2 + y^2 \le 4$ dairesel bölgesi $D$ olmak üzere, $\iint_D e^{x^2+y^2} \, dA$ integrali kutupsal koordinatlarda nasıl ifade edilir?

Accepted Answer

$\int_0^{2\pi} \int_0^2 e^{r^2} r \, dr \, d	heta$

Question 4

Bir önceki sorudaki integralin ( $\int_0^{2\pi} \int_0^2 e^{r^2} r \, dr \, d	heta$ ) sayısal sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Accepted Answer

$\pi(e^4 - 1)$

Question 5

Kutupsal koordinatlarda yarıçapı $r=3$ olan bir çemberin alanını veren iki katlı integral aşağıdakilerden hangisidir ve sonucu kaçtır?

Accepted Answer

$\int_0^{2\pi} \int_0^3 r \, dr \, d	heta = 9\pi$

Question 6

$1 \le x^2 + y^2 \le 9$ eşitsizlikleri ile tanımlanan halka bölgesi üzerinde $\iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \, dA$ integralinin değeri kaçtır?

Accepted Answer

$4\pi$

Question 7

$D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 16, x \ge 0\}$ bölgesi üzerinde $\iint_D (x^2 + y^2) \, dA$ integralinin kutupsal koordinatlardaki sınırları nedir?

Accepted Answer

$0 \le r \le 4, \quad -\pi/2 \le 	heta \le \pi/2$

Question 8

$r = 2 \cos(3	heta)$ fonksiyonu üç yapraklı bir gül eğrisini temsil eder. Bu eğrinin tek bir yaprağının alanı hangi integralle hesaplanır? (Bir yaprak için sınır $-\pi/6 \le 	heta \le \pi/6$ dir)

Accepted Answer

$\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \int_0^{2 \cos(3	heta)} r \, dr \, d	heta$

Question 9

Düzlemde y-ekseni ($x=0, y>0$) ile $y=x$ doğrusu arasında kalan, birinci bölgedeki daire dilimi için $	heta$ kutupsal açısının aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Accepted Answer

$\pi/4 \le 	heta \le \pi/2$

Question 10

İstatistik ve olasılıktaki ünlü Gaussian integrali $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$ hesaplanırken karesi alınıp $I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dA$ yazılır. Kutupsal koordinatlara geçişle hesaplanan bu $I^2$ integrali ve $I$ Gaussian integralinin sonucu sırasıyla nedir?

Accepted Answer

$I^2 = \pi, \quad I = \sqrt{\pi}$