Tam Gelişmiş Türbülans Akım

Türbülanslı Akımın Yapısı ve Bölgeleri

Gerçek hayattaki mühendislik uygulamalarının (su şebekeleri, petrol boru hatları, hava kanalları vb.) büyük bir çoğunluğunda akım tipi türbülanslıdır. Reynolds sayısı ($Re > 4000$) sınırını aştığında, akışkan tanecikleri artık düzgün tabakalar halinde (laminer) akmaz. Bunun yerine mikroskobik girdaplar (eddy'ler) oluşur ve bu girdaplar akışkan kütlelerini birbirine karıştırır. Bu kaotik karışım, momentumun çok hızlı ve etkili bir şekilde transfer edilmesine neden olur. Dolayısıyla türbülanslı akımda hız profili, laminer akımdaki gibi sivri bir parabol yerine, çok daha düz (küt) bir şekil alır.

Borudaki türbülanslı bir akım, merkezden duvara doğru gidildikçe farklı fiziksel özellikler sergileyen üç temel tabakaya ayrılır: 1. Laminer Alt Bölge (Viskoz Alt Tabaka): Boru duvarına çok yakın olan, son derece ince (genellikle milimetrenin kesirleri mertebesinde) olan bölgedir. Burada akış hızları çok düşüktür ve girdaplar oluşamaz. Çeperin etkisiyle türbülans bastırılmıştır ve viskoz (moleküler) kayma gerilmesi tamamen baskındır. 2. Geçiş (Katlama / Tampon) Bölgesi: Viskoz alt tabaka ile dış tabaka arasındaki köprüdür. Bu bölgede hem viskoz kuvvetler hem de türbülanslı (Reynolds) kayma gerilmeleri bir arada, benzer büyüklüklerde etkilidir. 3. Dış Bölge (Çekirdek Bölge): Borunun merkezini kapsayan en geniş bölgedir. Bu bölgede viskozite etkileri ihmal edilebilecek kadar küçüktür ve tamamen türbülanslı karışım ve girdaplar (türbülans kayma gerilmesi) dominanttır. Dış bölgede türbülans kayma gerilmeleri, viskoz gerilmelerden 100 ile 1000 kat daha büyük olabilir.

Viskoz alt tabakanın kalınlığı son derece kritik bir parametredir. Örneğin 76.2 mm çapında ve saniyede 3 metre hızla akan su için viskoz alt tabakanın kalınlığı sadece 0.051 mm civarındadır. Eğer borunun iç çeperindeki pürüzlülük çıkıntıları bu kalınlıktan daha büyükse, çıkıntılar alt tabakayı delerek doğrudan türbülanslı akıma karışır. Bu duruma "hidrolik pürüzlü boru" denir ve sürtünme katsayısı önemli ölçüde artar. Eğer pürüzlülükler alt tabakanın içinde kalıyorsa, akışkan pürüzleri hissetmez ve boru "hidrolik pürüzsüz (cilalı)" gibi davranır.

Türbülanslı Akımda Hız Profilleri

Türbülanslı akımın doğası karmaşık olduğundan, hız profili laminer akımdaki gibi tek bir analitik formülle ifade edilemez. Her tabaka için deneysel verilere dayanan farklı denklemler kullanılır. Bu denklemleri tanımlamak için "Sürtünme (Kayma) Hızı" ($u^$) adı verilen kurgusal bir hız parametresi tanımlanmıştır: $$ u^ = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}} $$ Burada $\tau_w$ duvar kayma gerilmesi, $\rho$ ise akışkanın yoğunluğudur. Duvar kayma gerilmesi, ortalama hız ve Darcy sürtünme katsayısı ($f$) cinsinden şu şekilde de ifade edilebilir: $\tau_w = \frac{f}{8} \rho V^2$.

Viskoz alt tabakada (duvara çok yakın bölge), hız ($u$) ile duvardan olan uzaklık ($y$) arasında lineer bir ilişki vardır: $$ \frac{u}{u^} = \frac{y \cdot u^}{\nu} \quad \text{koşul:} \quad 0 \leq \frac{y \cdot u^}{\nu} \leq 5 $$ Burada $\nu$ kinematik viskozitedir. Viskoz alt tabakanın kalınlığı ($\delta_s$) ise $\delta_s = 5 \frac{\nu}{u^}$ formülüyle bulunur.

Geçiş bölgesinde ve dış bölgenin büyük bir kısmında, hız profili logaritmik bir yasa (Log-law) izler. Pürüzsüz borular için genellikle şu Von Karman bağıntısı kullanılır: $$ \frac{u}{u^} = 2.5 \ln\left( \frac{y \cdot u^}{\nu} \right) + 5.0 $$ Buna alternatif olarak; $\frac{u}{u^} = 5.75 \log_{10}\left( \frac{y \cdot u^}{\nu} \right) + 5.5$ ampirik formülü de yaygın olarak literatürde yer almaktadır.

Boru merkezinde (maksimum hız $V_c$ noktasında), pürüzsüz borulardaki ampirik çalışmalara dayanan pratik "kuvvet yasası" (Power Law) denklemleri de kullanılır. Reynolds sayısına bağlı olarak ($n$) katsayısı belirlenir (genellikle $Re \leq 10^5$ için $n=7$): $$ \frac{u}{V_c} = \left( \frac{y}{R} \right)^{1/n} = \left( 1 - \frac{r}{R} \right)^{1/n} $$ Bu basit kuvvet yasası denklemine göre, ortalama hız ile boru eksenindeki merkez hız arasındaki ilişki şöyle elde edilir: $$ \frac{V}{V_c} = \frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)} $$ Türbülanslı akımda $n$ genellikle 7 alındığından (meşhur $1/7$ kuvvet yasası), $V / V_c \approx 0.81$ çıkar. Bu da demek oluyor ki türbülanslı bir akımda ortalama hız, merkezdeki maksimum hızın yaklaşık %80'ine eşittir (Laminer akımda bu oran %50'ydi).

Bu karmaşık denklemler sayesinde, boru cidarı etrafındaki kayma gerilmeleri, sürtünme kuvvetleri ve farklı eksenel uzaklıklardaki noktasal hızlar çok yüksek hassasiyetle hesaplanabilir. Türbülanslı akım hesaplamaları havacılıktan kimya endüstrisine kadar birçok alanda büyük önem arz etmektedir.

Sürtünme Katsayısı ve Pürüzlülük

Türbülanslı boru akımında Darcy sürtünme katsayısı yalnızca Reynolds sayısına değil, bağıl pürüzlülüğe $k/D$ de bağlıdır. Bu ilişki Moody diyagramından veya Colebrook bağıntısından belirlenir:

$$\frac{1}{\sqrt f}=-2\log_{10}\left(\frac{k/D}{3{,}7}+\frac{2{,}51}{Re\sqrt f}\right)$$

$f$ denklemin iki tarafında bulunduğu için genellikle iterasyon gerekir. Akım hidrolik olarak pürüzsüzken viskoz alt tabaka pürüzleri örter ve Reynolds sayısı belirleyici olur. Tam pürüzlü rejimde ise viskoz etkinin göreli rolü azalır; $f$ esas olarak $k/D$ ile değişir.

Hesaplanan katsayı Darcy–Weisbach denkleminde kullanılır:

$$h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

Burada Darcy katsayısı ile Fanning katsayısının karıştırılmaması gerekir; Darcy katsayısı Fanning katsayısının dört katıdır. Yanlış katsayı türü kullanılması, yük kaybını doğrudan dört kat hatalı verir.