Bernoulli Eşitliğinin Uygulanma Kısıtları

Akışkanlar mekaniğinde basınç, hız ve yükseklik arasındaki ilişkiyi kuran en önemli araçlardan biri Bernoulli eşitliğidir. Ancak bu eşitlik her akışa doğrudan uygulanamaz. Kullanılmadan önce akışkanın sıkıştırılabilirliği, akışın zamana bağlı olup olmadığı, viskoz etkiler ve incelenen noktaların aynı akım çizgisi üzerinde bulunup bulunmadığı kontrol edilmelidir.

1. Sıkıştırılamaz Akışkan Kabulü

Klasik Bernoulli denklemi, akışkan yoğunluğunun ($\rho$) akış boyunca sabit kaldığını varsayar. Bu kabul su ve yağ gibi sıvılarda çoğu mühendislik problemi için uygundur. Gazlarda ise basınç ve sıcaklık değişiklikleri yoğunluğu belirgin biçimde değiştirebilir.

Sıcaklığın sabit ($T=\text{sabit}$) olduğu izotermal ideal gaz akışında $P=\rho RT$ bağıntısı kullanılarak Bernoulli eşitliği şöyle yazılabilir:

$$ \frac{V_1^2}{2g}+z_1+\frac{RT}{g}\ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right) =\frac{V_2^2}{2g}+z_2 $$

İzoentropik, yani tersinir ve adyabatik ideal gaz akışında $P/\rho^k=\text{sabit}$ bağıntısı geçerlidir. Burada $k$ özgül ısılar oranıdır. Enerji eşitliği birim kütle başına şu biçimi alır:

$$ \left(\frac{k}{k-1}\right)\frac{P_1}{\rho_1}+\frac{V_1^2}{2}+gz_1 =\left(\frac{k}{k-1}\right)\frac{P_2}{\rho_2}+\frac{V_2^2}{2}+gz_2 $$

Bu denklemler, yoğunluğun değiştiği gaz akışlarında klasik sıkıştırılamaz Bernoulli formülünün neden yeterli olmadığını gösterir.

2. Mach Sayısı ve Sıkıştırılabilirlik Sınırı

Bir gaz akışında sıkıştırılabilirlik etkisinin önemini değerlendirmek için Mach sayısı kullanılır:

$$ Ma=\frac{V}{C}=\frac{V}{\sqrt{kRT}} $$

Burada $V$ akış hızını, $C$ ise yerel ses hızını gösterir. İzoentropik akışta durma basıncı $P_2$ ile serbest akış basıncı $P_1$ arasındaki ilişki şöyledir:

$$ \frac{P_2-P_1}{P_1} =\left(1+\frac{k-1}{2}Ma_1^2\right)^{\frac{k}{k-1}}-1 $$

Sıkıştırılamaz kabul altında aynı oran yaklaşık olarak

$$ \frac{P_2-P_1}{P_1}=\frac{k}{2}Ma_1^2 $$

olur. $Ma\leq0{,}3$ olduğunda iki yaklaşım arasındaki fark çoğu mühendislik hesabında küçük kalır. Standart koşullarda ses hızı yaklaşık $340\ \text{m/s}$ olduğundan bu sınır yaklaşık $102\ \text{m/s}$, yani $367\ \text{km/h}$ hıza karşılık gelir.

3. Kararlı Akım Koşulu

Kararlı akımda bir noktadaki hız ve basınç zamanla değişmez. Hız yalnızca akım çizgisi boyunca konumun fonksiyonuysa, teğetsel ivme

$$ a_s=V\frac{\partial V}{\partial s} $$

biçimindedir. Kararsız akımda hız hem konuma hem zamana bağlıdır ve yerel ivme de hesaba katılır:

$$ a_s=\frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial s} $$

Sıkıştırılamaz ve sürtünmesiz kararsız akış için akım çizgisi boyunca genişletilmiş Bernoulli eşitliği

$$ \int_1^2\frac{\partial V}{\partial t}\,ds +\frac{P_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}+gz_2 =\frac{P_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2}+gz_1 $$

olarak yazılır. İntegral terimi akışın zamanla değişmesinden kaynaklanan katkıyı temsil eder. Ani vana kapanması ve su darbesi gibi hızlı geçici olaylarda bu terim ihmal edilemez.

4. Akım Çizgisi Boyunca Uygulanabilirlik

Klasik Bernoulli eşitliği genel olarak aynı akım çizgisi üzerindeki iki nokta arasında uygulanır. Farklı akım çizgilerindeki Bernoulli sabitleri birbirinden farklı olabilir. Akış irrotasyonel, yani girdapsız ise Bernoulli sabiti tüm akış alanında aynı olur ve eşitlik farklı akım çizgilerindeki noktalar arasında da kullanılabilir.

Akım çizgisine dik yönde belirgin basınç değişimi bulunan eğrisel veya dönel akışlarda noktaların konumu dikkatle seçilmelidir. Aksi hâlde aynı Bernoulli sabitini kullanmak yanlış sonuç verir.

5. Sürtünmesiz Akış Kabulü

Gerçek akışkanların viskozitesi vardır. Boru cidarındaki ve akışkan tabakaları arasındaki sürtünme, mekanik enerjinin bir bölümünü ısıya dönüştürür. Viskoz kayıplar önemliyse klasik Bernoulli eşitliğine kayıp yükü $h_L$ eklenmelidir:

$$ \frac{P_1}{\gamma}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1 =\frac{P_2}{\gamma}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2+h_L $$

Sisteme pompa enerji veriyorsa sol tarafa pompa yükü $h_p$, türbin enerji çekiyorsa sağ tarafa türbin yükü $h_t$ eklenir. Boru uzadıkça, pürüzlülük veya hız arttıkça kayıpları ihmal etmenin doğurduğu hata büyür.

6. Uygun Denklem Nasıl Seçilir?

Bir probleme başlarken ilk olarak akışkanın sıvı mı gaz mı olduğu belirlenir. Sıvılarda yoğunluk çoğu zaman sabit alınabilir. Gaz akışında ise hızdan Mach sayısı hesaplanır; $Ma>0{,}3$ ise sıkıştırılabilirlik etkisi ayrıca modellenir. Daha sonra akışın kararlı olup olmadığı sorgulanır. Depo seviyesinin yavaş değiştiği bir boşalma problemi bazen anlık olarak yarı kararlı kabul edilebilirken, hızla kapanan bir vanadaki su darbesi bu kabulle çözülemez.

İkinci adımda iki kontrol noktası arasında pompa, türbin veya belirgin sürtünme kaybı bulunup bulunmadığı incelenir. Kısa ve düzgün bir lülede kayıplar ihmal edilebilir; uzun, pürüzlü bir boruda ise Darcy–Weisbach kaybı hesaba katılmadan yapılan Bernoulli hesabı gerçek basıncı olduğundan yüksek tahmin eder. Bir pompa iki depo arasında akış sağlıyorsa pompa yükü enerji denklemine eklenir.

Karar Örneği: Hava Kanalı

Bir hava kanalında hız $68\ \text{m/s}$ ve yerel ses hızı $340\ \text{m/s}$ olsun. Mach sayısı

$$ Ma=\frac{68}{340}=0{,}20 $$

bulunur. Bu değer $0{,}3$ sınırının altında olduğundan, basınç ve sıcaklık değişimleri de küçükse hava ilk yaklaşımda sıkıştırılamaz kabul edilebilir. Aynı kanalda hız $170\ \text{m/s}$ olsaydı $Ma=0{,}50$ elde edilir ve sıkıştırılabilir akış denklemleri gerekirdi.

Karar Örneği: Uzun Boru

Aynı çaptaki yatay bir borunun giriş ve çışında hızlar eşitse klasik, kayıpsız Bernoulli denklemi basınçların da eşit olacağını söyler. Gerçekte boru boyunca sürtünme vardır ve akışı sürdürmek için giriş basıncı çıkış basıncından büyük olmalıdır. Bu fark, enerji denklemindeki $h_L$ terimiyle temsil edilir. Bu basit kontrol, kayıp teriminin unutulduğu pek çok hatalı çözümü hemen ortaya çıkarır.

Bernoulli denklemini kullanmadan önce şu soruları sırayla yanıtlamak yararlıdır:

Yoğunluk yaklaşık sabit mi?
Akış kararlı mı, yoksa yerel ivme var mı?
Noktalar aynı akım çizgisi üzerinde mi veya akış irrotasyonel mi?
Sürtünme kayıpları ihmal edilebilir mi?
Kontrol noktaları arasında pompa ya da türbin var mı?
Kullanılan basınçların tamamı mutlak veya tamamı gösterge basıncı olarak tutarlı mı?

Sonuç olarak Bernoulli eşitliği uygulanmadan önce akışın sıkıştırılabilirliği, zamana bağlılığı, viskoz kayıpları ve incelenen noktaların akım çizgileriyle ilişkisi ayrı ayrı denetlenmelidir.