Teorik Olasılık

Olasılık hesaplamalarında, eğer sonucunu aradığımız durumla ilgili geçmiş bir veri (deney sonucu) yoksa veya olası tüm sonuçların gerçekleşme şanslarının matematiksel modelleri biliniyorsa, teorik olasılık yöntemini kullanırız. Önceki dersimizde bir zarı 100 kez atarak "3 gelme" şansını deneysel olarak nasıl bulacağımızı incelemiştik. Teorik olasılıkta ise zarı hiç elimize almamıza gerek yoktur! Bir zarın 6 yüzü olduğunu ve zar hilesiz (homojen) ise her bir yüzünün üste gelme ihtimalinin tamamen eşit olduğunu biliriz. İşte bu eşit şansa dayalı olan matematiksel analizlere teorik olasılık denir.

Temel Kavramlar

Teorik olasılığı doğru hesaplayabilmek için deney ve olay dışında şu temel kavramları çok iyi tanımamız gerekir:

1. Örnek Uzay (Evrensel Küme): Bir deney sonucunda ortaya çıkabilecek tüm olası çıktıların oluşturduğu kümeye denir ve genellikle $E$ (Evrensel Küme) veya $Ö$ harfi ile gösterilir.

   • Bir madeni para havaya atıldığında örnek uzay: $E = {\text{Yazı}, \text{Tura}}$'dır ve eleman sayısı $s(E) = 2$'dir.
   • Bir zar atıldığında örnek uzay: $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$'dır ve eleman sayısı $s(E) = 6$'dır.

2. Olay: Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir ve $A, B, C$ gibi büyük harflerle gösterilir.

   • Bir zarın atılması deneyinde "Tek sayı gelmesi" bir $A$ olayıdır. $A = {1, 3, 5}$ olur ve eleman sayısı $s(A) = 3$'tür.

3. Eş Olasılıklı Olaylar: Örnek uzaydaki her bir çıktının (elemanın) gerçekleşme şansı birbirine eşitse, bu örnek uzaya "eş olumlu" (eş olasılıklı) uzay denir. Hilesiz bir zarın veya madeni paranın atılması, içinde aynı büyüklükte toplar olan torbadan top çekilmesi eş olasılıklı deneylerdir.

Teorik Olasılık Formülü

Bir eş olasılıklı $E$ örnek uzayında, bir $A$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(A)$ ile gösterilir. $P$ harfi, olasılığın İngilizce karşılığı olan "Probability" kelimesinin baş harfinden gelir.

Olasılık hesabı, istenen olayın eleman sayısının, örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısına bölünmesiyle bulunur.

$$ P(A) = \frac{\text{İstenen Durumların Sayısı } (s(A))}{\text{Tüm Olası Durumların Sayısı } (s(E))} $$

Önemli Bir Kural: Bir olayın gerçekleşme olasılığı asla 0'dan küçük veya 1'den büyük olamaz. $0 \le P(A) \le 1$. - Eğer $P(A) = 0$ ise bu olaya İmkansız Olay denir (Örneğin bir zar atıldığında 7 gelmesi). - Eğer $P(A) = 1$ ise bu olaya Kesin Olay denir (Örneğin bir zar atıldığında 7'den küçük bir sayma sayısı gelmesi).

Örnek 1: Temel Hesaplama

Soru: "MATEMATİK" kelimesinin tüm harfleri aynı büyüklükteki kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele seçilen bir kartın üzerinde "M" harfi yazma olasılığı nedir?

Çözüm: Öncelikle toplam durum sayısını (örnek uzayın eleman sayısını) bulalım. Kelime M-A-T-E-M-A-T-İ-K harflerinden oluşuyor. Toplam 9 harf (kart) var. O hâlde $s(E) = 9$'dur. İstenen olay: M harfi çekmek. Kelimenin içinde kaç tane M harfi var? 2 tane. O hâlde $s(A) = 2$'dir.

$$ P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{2}{9} $$

Seçilen kartın M olma olasılığı $\frac{2}{9}$ olarak bulunur.

"Veya" Bağlacı ve Olasılık (Olayların Birleşimi)

Gündelik dilde veya sorularda iki olay arasında "veya" bağlacı kullanılıyorsa, bu durum olayların küme dilindeki birleşimini ($\cup$) ifade eder. "A veya B olayının gerçekleşme olasılığı", matematiksel olarak $P(A \cup B)$ şeklinde yazılır.

Birleşimin olasılığını hesaplarken, iki olayın aynı anda gerçekleşip gerçekleşemeyeceğine (kesişimlerinin olup olmadığına) dikkat etmeliyiz.

1. Kesişimi Olan (Ayrık Olmayan) Olaylar

İki olayın ortak elemanları varsa (aynı anda gerçekleşebiliyorlarsa) bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir. Örneğin, bir zarı attığınızda gelen sayının "çift sayı" olması ile "asal sayı" olması olaylarına bakalım. Zar 2 gelirse, hem çift hem de asal sayı olma şartını aynı anda sağlamış olur!

Kesişimi olan A ve B olayları için formül şudur: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Bu formül, kümeler konusundaki $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ kuralının olasılığa uyarlanmış hâlidir. Kesişimi (ortak elemanları) bir kez çıkarmamızın nedeni, $A$ ve $B$ kümelerini toplarken o ortak bölgeyi iki defa saymış olmamızdır.

2. Kesişimi Olmayan (Ayrık) Olaylar

İki olayın ortak elemanı yoksa (aynı anda gerçekleşmeleri imkansızsa) bunlara ayrık olaylar denir. Örneğin, zarı attığınızda zarın hem "tek sayı" hem de "çift sayı" gelmesi imkansızdır. Kesişimleri boş kümedir ($A \cap B = \emptyset$).

Ayrık olaylar için $P(A \cap B) = 0$ olacağından formül sadeleşir: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Örnek 2: "Veya" İhtimali Hesaplama

Soru: 1'den 20'ye kadar (1 ve 20 dâhil) tam sayıların yazılı olduğu kartlardan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın üzerinde yazan sayının 5'in katı VEYA çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: - Örnek Uzay ($E$): ${1, 2, 3, ..., 20} \Rightarrow s(E) = 20$. - $A$ olayı (5'in katı olması): ${5, 10, 15, 20} \Rightarrow s(A) = 4$. $P(A) = \frac{4}{20}$ - $B$ olayı (Çift sayı olması): ${2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} \Rightarrow s(B) = 10$. $P(B) = \frac{10}{20}$

Şimdi ortak eleman var mı diye (kesişime) bakıyoruz. Hem 5'in katı hem de çift olan (yani 10'un katı olan) sayılar: - $A \cap B = {10, 20} \Rightarrow s(A \cap B) = 2$. $P(A \cap B) = \frac{2}{20}$

Kesişimleri olduğu için bu olaylar ayrık değildir. Birleşim formülünü kullanalım: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ $$ P(A \cup B) = \frac{4}{20} + \frac{10}{20} - \frac{2}{20} $$ $$ P(A \cup B) = \frac{12}{20} $$

Kesrimizi en sade hâline (4 ile sadeleştirerek) getirirsek: $\frac{3}{5}$ bulunur.

Tümleyen Olay ("Olmama" Olasılığı)

Bazen bir olayın gerçekleşmeme olasılığını hesaplamak, o olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamaktan daha kolaydır. Bir $A$ olayının gerçekleşmeme olayı $A'$ (A'nın tümleyeni) ile gösterilir. Bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme olasılıklarının toplamı her zaman kesin olaya (yani 1'e) eşittir:

$$ P(A) + P(A') = 1 $$

Buradan yola çıkarak, "gerçekleşmeme" ihtimalini şöyle de yazabiliriz: $$ P(A') = 1 - P(A) $$

Örnek 3: Tümleyen Olasılığı

Soru: Bir sepette 4 sarı, 3 mavi ve 5 kırmızı top vardır. Sepetten rastgele çekilen bir topun sarı OLMAMA olasılığı kaçtır?

Çözüm: Bu soruyu iki farklı yoldan çözebiliriz.

1. Yol (Doğrudan hesaplama): Top sarı olmayacaksa, ya mavi ya da kırmızı olmalıdır. Mavi (3) ve Kırmızı (5) toplam 8 top vardır. Tüm topların sayısı ise $4 + 3 + 5 = 12$'dir. Sarı olmama olasılığı = $\frac{8}{12}$. Bunu 4 ile sadeleştirirsek $\frac{2}{3}$ buluruz.

2. Yol (Tümleyeni kullanarak): Çekilen topun sarı olma olayına $A$ diyelim. Toplam 12 toptan 4'ü sarıdır. $$ P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$ Bizden istenen, sarı olmaması, yani $A'$ (A'nın tümleyeni). $$ P(A') = 1 - P(A) $$ $$ P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

Her iki yoldan da sonucun $\frac{2}{3}$ çıktığını görüyoruz. Karmaşık hesaplamalar gerektiren "en az biri" tarzındaki sorularda 2. yolu kullanmak (tüm durumdan, istenmeyen durumu çıkarmak) büyük zaman kazandırır.

Geometri ve Tablo Yardımıyla Teorik Olasılık

Olasılık sadece torbadan top çekmek demek değildir! Genetik çaprazlamalardan (bezelye tohumlarının şekli veya rengi), meteoroloji grafiklerine, alanlardan tablo okumaya kadar geniş bir yelpazesi vardır.

Çapraz Tablolarla Hesaplama

Özellikle iki farklı grubun verilerinin kesiştiği tablolarda olasılık hesaplarken tablonun tamamını "örnek uzay" olarak görmelisiniz.

Not: Veriler temsilidir.

Yukarıdaki tabloya göre rastgele seçilen bir kişinin "Lisans ve Üzeri mezunu" VEYA "Altın yatırımcısı" olma olasılığı nedir?

• $s(E)$ = Tablodaki genel toplam kişi sayısı = 378
• Lisans ve Üzeri mezunu olma sayısı ($A$): 309 (Olasılık: $309/378$)
• Altın yatırımcısı olma sayısı ($B$): 62 (Olasılık: $62/378$)
• Hem Lisans ve Üzeri mezunu hem de Altın yatırımcısı olma sayısı (Kesişim, $A \cap B$): Tabloda iki bilginin kesiştiği hücre 50'dir. (Olasılık: $50/378$)

Birleşim (Veya) kuralını uygularsak: $$ P(A \cup B) = \frac{309}{378} + \frac{62}{378} - \frac{50}{378} = \frac{321}{378} $$

Görüldüğü gibi bir tablo veya tablo şeklinde ağaç yapısı okurken, "veya" ifadesi geçtiğinde, tabloda o satırı ve o sütunu boyarız. İkisinin kesiştiği hücreyi iki kere saymamak için toplamdan bir kez çıkarırız!

Teorik olasılık, "adaletli bir evrende (hilesiz ortamlarda) her bir elemanın şansını adil olarak dağıtma" prensibiyle çalışır. Soruları çözerken sadece pay (istenen) ve paydayı (tamamı) doğru belirlemeniz yeterli olacaktır.