4.3. Benzer Üçgenler Oluşturma
Bir önceki bölümde eşlik ve benzerliğin ne olduğunu, temel özelliklerini ve kurallarını teorik olarak ele aldık. Peki, bir üçgene benzer olan yeni bir üçgeni sıfırdan nasıl çizebiliriz veya verilen şekiller içerisinde benzer üçgenleri nasıl üretebiliriz? Bu bölümde, cetvel, pergel, açıölçer (iletki) veya dinamik geometri yazılımları kullanarak belirli bir benzerlik oranında üçgenler oluşturmanın tekniklerini öğreneceğiz. Aynı zamanda, üçgen içinden paralel doğrular çizerek ortaya çıkan doğal benzerlikleri inceleyeceğiz.
Çizim Araçlarıyla Benzer Üçgen Çizimi
Bir üçgenin belirli bir benzerlik oranına (ölçek faktörüne) sahip kopyasını oluşturmak, haritacılık, mimari maket yapımı ve grafik tasarım gibi alanlarda çok sık kullanılan pratik bir işlemdir.
1. Açı-Açı Kuralını Kullanarak Çizim
Bir $ABC$ üçgeni verilmiş olsun ve biz bu üçgenin iki katı büyüklüğünde ($k=2$) benzer bir $A'B'C'$ üçgeni çizmek isteyelim. En basit yol açıları kopyalamaktır. 1. İletki (açıölçer) yardımıyla $ABC$ üçgeninin iç açılarını ($m(\widehat{A})$ ve $m(\widehat{B})$) ölçeriz. 2. Kağıda rastgele bir $A'B'$ doğru parçası çizeriz. Ancak bu parçanın uzunluğunu $|AB|$'nin iki katı olacak şekilde ayarlarız ($|A'B'| = 2 \cdot |AB|$). 3. $A'$ noktasından $m(\widehat{A})$ açısı kadar, $B'$ noktasından ise $m(\widehat{B})$ açısı kadar ışınlar çizeriz. 4. Bu iki ışının kesiştiği nokta $C'$ noktasıdır. Oluşan $A'B'C'$ üçgeni, Açı-Açı-Açı (A.A.) kuralı gereği baştaki $ABC$ üçgenine benzerdir. Kenarların da tam ikişer kat büyüdüğünü cetvelle ölçerek görebilirsiniz.
2. Kenar-Açı-Kenar Kuralını Kullanarak Çizim
Benzerlik oranımız bu kez $k=\frac{1}{2}$ (yani yarı yarıya küçültme) olsun. 1. $ABC$ üçgenindeki $\widehat{A}$ açısını iletki ile ölçüp, yeni bir düzleme aynen çizeriz (açı ölçüsü değişmez!). 2. Açının bir koluna, $|AB|$'nin yarısı uzunluğunda olacak şekilde $|A'B'|$ işaretleriz. 3. Açının diğer koluna, $|AC|$'nin yarısı uzunluğunda olacak şekilde $|A'C'|$ işaretleriz. 4. $B'$ ve $C'$ noktalarını birleştirerek üçgeni tamamlarız. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) benzerliğinden ötürü $A'B'C' \sim ABC$ olur ve üçüncü kenar olan $|B'C'|$'nin de otomatik olarak $|BC|$'nin yarısı çıktığı gözlemlenir.
Üçgen İçinde Paralel Çizerek Benzerlik Oluşturma
Bir üçgene dışarıdan başka bir kağıda benzer üçgen çizmek yerine, doğrudan üçgenin kendi içinde de muazzam benzerlikler üretebiliriz. Bunun en temel yöntemi üçgenin bir kenarına paralel bir doğru parçası çizmektir. Bu kavram bizi geometri dünyasının en meşhur teoremlerinden biri olan Tales Teoremi'nin kapısına getirecektir.
Bir $ABC$ üçgeninde, $BC$ tabanına paralel olacak şekilde, $AB$ kenarını $D$ noktasında, $AC$ kenarını $E$ noktasında kesen bir $DE$ doğru parçası çizelim ($DE \parallel BC$).
Bu paralel doğru çizimi, üçgenin tepesinde küçük bir üçgen ($ADE$ üçgeni) oluşturur. Acaba bu yeni küçük üçgen ile büyük üçgen ($ABC$) arasında nasıl bir ilişki vardır?
Paralellikten dolayı yöndeş açılar devreye girer: 1. $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC})$ (Yöndeş açılar) 2. $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB})$ (Yöndeş açılar) 3. $\widehat{A}$ açısı ise hem $ADE$ hem de $ABC$ üçgeninin ortak açısıdır.
Gördüğünüz gibi, $ADE$ üçgeninin tüm iç açıları, $ABC$ üçgeninin iç açılarıyla birebir aynıdır. A.A. benzerlik kuralına göre, $ADE \sim ABC$ olduğunu kesinlikle söyleyebiliriz.
Benzerlik Oranının Yazılması
Madem bu iki üçgen benzerdir, o halde aynı açıların karşısındaki kenarların oranları birbirine eşit olmalıdır. Küçük üçgen ile büyük üçgenin kenarlarını oranlarsak şu temel bağıntıyı elde ederiz: $$ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} $$
Bu basit görünen oranlama, üçgenlerde uzunluk bulma problemlerinin neredeyse yarısını çözer.
Özel Bir Durum: Orta Taban
Yukarıdaki paralel çizmeyi tamamen rastgele bir noktadan değil de, tam ortadan yaparsak ne olur? Eğer $D$ noktası $AB$'nin orta noktasıysa ve $DE \parallel BC$ çizilmişse, $E$ noktası da $AC$'nin orta noktası olmak zorundadır.
Bu durumda çizdiğimiz bu $DE$ doğru parçasına Orta Taban denir. Orta taban ile büyük taban arasındaki benzerlik oranı $k = \frac{1}{2}$ olur (Çünkü $|AD|$, tamamı olan $|AB|$'nin yarısıdır). Orta tabanın iki temel özelliği vardır: 1. Üçgenin tabanına paraleldir. 2. Uzunluğu, taban uzunluğunun tam yarısına eşittir. ($|DE| = \frac{|BC|}{2}$)
Orta taban, şeklin alanını da ilginç bir şekilde böler. Üstteki küçük $ADE$ üçgeninin alanı $S$ ise, alttaki dörtgenin (yamuk) alanı $3S$ olur. Tüm üçgenin alanı $4S$ olur. Çünkü alanlar oranı benzerlik oranının karesiydi: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
Dinamik Geometri Yazılımları ile Benzerlik
Geometriyi sadece kağıt kalemle değil, günümüz teknolojisi olan GeoGebra gibi dinamik matematik yazılımlarıyla da modelleyebiliriz. Bu yazılımlarda bir $ABC$ üçgeni çizip, "Merkez etrafında genişlet/daralt (Dilate from Point)" komutunu kullanarak, seçtiğiniz bir merkeze ve belirttiğiniz bir $k$ ölçek faktörüne göre saniyeler içinde mükemmel benzer üçgenler (veya fraktallar) oluşturabilirsiniz.
Dinamik yazılımların en güzel tarafı, başlangıç üçgeninin herhangi bir köşesinden tutup şekli bozduğunuzda, benzer olarak oluşturulan yeni üçgenin de aynı kurallara uyarak anında form değiştirmesidir. Bu, benzerlik oranının ve açıların korunumu ilkesini statik bir kağıttan ziyade, yaşayan ve nefes alan bir model üzerinde görmenizi sağlar.