Vektörler

Vektörler, doğadaki bazı olayların açıklanmasında ve bazı bilimsel hesaplamalarda kullanılır. Fizik, mühendislik, matematik gibi disiplinlerde vektörlerin özelliklerinden yararlanılır. Kuvvet ve hız gibi fiziksel niceliklerin analizinde yaygın olarak kullanılır. Mühendislikte yapı incelemeleri, mekanik tasarımlar, elektrik ve manyetizma gibi alanlarda vektörler önemli bir rol oynar. Örneğin bir köprü analiz edilirken köprüye etki eden kuvvetlerin vektörel olarak değerlendirilmesi gerekir; bu değerlendirmeler sabitlenmiş köprünün ayakta durması ve üzerinden geçen araçların güvenliği için oldukça önemlidir. Havacılık ve uzay mühendisliğinde roketlerin ve uçakların yönlendirilmesi, yörünge hesaplamaları gibi birçok uygulama da vektör kavramını içerir. Vektörler, modern hâliyle XIX. yüzyılın sonlarında elektromanyetizma yasalarının ifade edilmesi amacıyla kullanılmaya başlanmış ve matematiksel işlemlerin geliştirilmesinde önemli bir rol oynamıştır.

Vektörün Tanımı ve Gösterimi

Vektörel nicelikleri tam ve doğru şekilde ifade edebilmek için bu niceliklerin yön ile büyüklük bilgilerine ihtiyaç vardır. Örneğin 25 m/s büyüklüğündeki hızla doğrusal bir yolda hareket eden bir aracın harekete başladıktan 8 s sonraki varış noktasını belirleyebilmek için aracın ilk konumu, hızının büyüklüğü ve hangi yöne gittiği bilinmelidir. Bu nedenle hız vektörel bir niceliktir.

Vektörel nicelikler, yönlü bir doğru parçası ile gösterilir. Bir vektörel niceliği K şeklinde tanımlarsak, K harfinin üzerindeki ok bu niceliğin vektörel olduğunu belirtir; örneğin kuvvet vektörünü göstermek için F, hız vektörünü göstermek için υ sembolleri kullanılır. Bir vektörün iki temel özelliği vardır: yön (vektörün işaret ettiği okun gösterdiği doğrultu) ve büyüklük (vektörün sayı değeri). Örneğin bir kuvvet vektörünün büyüklüğü F = 30 N, bir hız vektörünün büyüklüğü ise υ = 20 m/s olarak belirtilir.

Vektörlerin Özellikleri: Eşit, Zıt ve Katlı Vektörler

İki veya daha fazla vektörün bazen birbiriyle karşılaştırılması ya da bir vektörün diğer vektör cinsinden ifade edilmesi gerekebilir. Bu işlemleri yapabilmek için eşit vektör, zıt vektör veya gerçek (reel) sayı ile çarpılmış vektör tanımlarından yararlanılır.

Bir vektör ile başka bir vektörün yönü ve büyüklüğü aynı ise bu iki vektöre eşit vektör denir (A = B = C şeklinde gösterilir). Bu durum, vektörün hiçbir özelliği değiştirilmeden bir noktadan başka bir noktaya paralel olarak taşınmasına olanak sağlar. Bir vektör ile başka bir vektörün büyüklüğü aynı olup yönleri ters ise bu iki vektöre zıt vektör denir (D = −E veya E = −D şeklinde gösterilir).

Bir vektör bir gerçek sayı ile çarpılabilir. Çarpılan sayı 1'den büyük ve pozitif ise vektörün yönü değişmez ancak büyüklüğü artar. Çarpılan sayı 1'den küçük ve pozitif ise vektörün yönü yine değişmez ancak büyüklüğü azalır. Çarpılan sayı negatif ise vektörün yönü öncekine göre zıt yönde olur. Örneğin bir A vektörü pozitif olan 2 sayısıyla çarpılırsa 2A vektörü, negatif olan −1 sayısıyla çarpılırsa −A vektörü elde edilir; büyüklüğü değiştirmeyen tek çarpan −1'dir, çünkü bu çarpan yalnızca vektörün yönünü tersine çevirir.

Örneğin eşit bölmelendirilmiş bir düzlemde batı yönünde 2 birim uzunluğundaki bir A vektörüne eşit olan vektör, yine batı yönünde 2 birim uzunluğunda olmalıdır; A vektörüne zıt olan vektör ise doğu yönünde 2 birim uzunluğunda olmalıdır. Doğu yönünde 4 birim uzunluğundaki bir C vektörü, A vektörünün yönüyle ters ve büyüklüğü A'nın 2 katı olduğundan aralarındaki ilişki 2A = −C veya A = −C/2 şeklinde ifade edilir.

Vektörlerin Toplanması

Nicelikler arasında toplama işleminin yapılabilmesi için öncelikle toplanacak niceliklerin ölçü birimlerinin aynı olup olmadığı kontrol edilmelidir. Vektörel niceliklerden kuvvet vektörü ile kuvvet vektörü, hız vektörü ile hız vektörü toplanabilir fakat hız vektörü ile kuvvet vektörü toplanamaz. Örneğin belli bir yönde hareket eden bir uçak farklı bir yönde rüzgâra maruz kaldığında istikametinden farklı bir yöne doğru hareket eder; uçağın o andaki hızını bulmak için motorunun sağladığı hız ile rüzgârın sürükleme hızı toplanır. Benzer şekilde uçak motorunun ve rüzgârın uçağa uyguladığı itme kuvvetleri toplanarak uçağa etki eden toplam kuvvet bulunabilir; ancak uçağın hızı ile rüzgârın uçağa uyguladığı kuvvet toplanamaz, çünkü bunlar farklı fiziksel niceliklerdir.

İki veya daha fazla vektörel niceliğin yaptığı etkiyi tek başına yapabilen vektöre bileşke vektör denir (R = A + B şeklinde gösterilir). Vektörlerin toplanması üç farklı yöntemle yapılabilir.

1. Uç Uca Ekleme Yöntemi

Üçgen yöntemi olarak da bilinen bu yöntemde bir vektör, yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden diğer vektörün bitiş noktasına taşınır. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına çizilen yönlü doğru parçası bileşke vektörü (R) verir. İkiden fazla vektör varsa aynı işlem sırayla tekrarlanır; örneğin A, B ve C vektörleri sırayla uç uca eklendiğinde bileşke vektör R = A + B + C şeklinde elde edilir. Vektörlerin toplanmasında elde edilen sonuç toplama sırasından bağımsızdır; yani R = A + B ise aynı zamanda R = B + A'dır.

2. Paralelkenar Yöntemi

İki vektörün toplanmasında kullanılan bir diğer yöntemdir. Toplanacak vektörlerin sayısı ikiden fazlaysa önce içlerinden ikisi paralelkenar yöntemiyle toplanır, elde edilen bileşke vektöre seçilmeyen diğer vektör eklenerek işleme devam edilir. Bu yöntemde A ve B vektörlerinin başlangıç noktaları aynı noktaya getirilir; her bir vektörün bitiş noktasından diğer vektöre paralel çizgiler çizilir; başlangıç noktasından bu paralellerin kesişme noktasına doğru çizilen vektör, bileşke vektördür (R = A + B).

3. Bileşenlerine Ayırma Yöntemi

Vektörler bir, iki veya üç boyutlu düzlemde incelenebilir. İki boyuttaki vektörler için yapılan hesaplamaları basitleştirmek amacıyla vektör, dik kartezyen koordinat sisteminde eksenler üzerindeki iz düşümüne karşılık gelen bileşenlerine ayrılabilir. Bir A vektörünün x ekseni üzerindeki iz düşümü Ax bileşeni, y ekseni üzerindeki iz düşümü ise Ay bileşeni olarak adlandırılır; bu iki bileşenin vektörel toplamı A vektörüne eşittir (A = Ax + Ay). Vektörü bileşenlerine ayırmak için önce vektörün başlangıç noktası koordinat sisteminin merkezine (orijine) taşınır, sonra vektörün bitiş noktasından eksenlere paralel çizgiler çizilerek düzgün bir paralelkenar oluşturulur; orijinden bu paralellerin eksenleri kestiği noktalara çizilen yönlü doğrular Ax ve Ay bileşenlerini verir.

Birden fazla vektörü bileşenlerine ayırarak toplamak için önce her vektörün x ve y eksenlerindeki bileşenleri bulunur, aynı eksendeki bileşenler kendi aralarında toplanarak Rx ve Ry elde edilir, son olarak Rx ve Ry paralelkenar yöntemiyle birleştirilerek bileşke vektör bulunur. Örneğin K ve L vektörlerinin farkı (K − L) hesaplanırken önce L vektörünün bileşenlerinin yönü ters çevrilerek −L vektörü elde edilir, ardından x eksenindeki Kx ve −Lx bileşenleri ile y eksenindeki Ky ve −Ly bileşenleri kendi aralarında toplanarak sonuç bulunur.

Bu üç yöntem —uç uca ekleme, paralelkenar ve bileşenlerine ayırma— aynı iki vektörün toplamı için her zaman aynı bileşke vektörü verir; farklı olan yalnızca çözüm yoludur. Bu nedenle bir problemde hangi yöntemin kullanılacağı, verilen vektörlerin sayısına ve düzlemdeki konumlarına göre seçilebilir.