Tam Kare Pozitif Tam Sayılar ve Karekökleri

Karekök Kavramına Giriş

Matematikte işlemlerin genellikle tersleri bulunur. Toplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir. Benzer şekilde, bir sayının karesini almanın ters işlemi de karekök alma işlemidir. Bir sayının karesi demek, o sayıyı kendisiyle çarpmak demektir. Örneğin, $5 \times 5 = 25$ veya $5^2 = 25$ şeklinde gösterilir. Peki, alanı 25 metrekare olan kare şeklinde bir bahçemiz varsa, bu bahçenin bir kenar uzunluğunu nasıl buluruz? İşte bu sorunun cevabı bizi karekök kavramına götürür.

Karekök, "Hangi pozitif sayının karesi bu sayıya eşittir?" sorusuna yanıt verir ve $\sqrt{}$ sembolü ile gösterilir. Alanı 25 birimkare olan karenin bir kenarı $\sqrt{25} = 5$ birimdir.

Neden "Karekök"?

Bu işlemin adı doğrudan geometriyle, özel olarak da "kare" şekliyle bağlantılıdır. Bir karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpılması (karesinin alınması) ile bulunur. "Karekök" (karenin kökü) bulmak demek, alanını bildiğimiz bu karenin bir kenarına (yani köküne, başlangıcına) geri dönmek demektir.

Tam Kare Sayılar Nelerdir?

Karekökü alındığında sonucu tam sayı çıkan (yani kendisi bir tam sayının karesi olan) pozitif tam sayılara tam kare sayılar (veya karesel sayılar) denir. 1'den başlayarak tam kare sayıları listeleyebiliriz:

• $1^2 = 1 \times 1 = 1 \implies \sqrt{1} = 1$
• $2^2 = 2 \times 2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2$
• $3^2 = 3 \times 3 = 9 \implies \sqrt{9} = 3$
• $4^2 = 4 \times 4 = 16 \implies \sqrt{16} = 4$
• $5^2 = 5 \times 5 = 25 \implies \sqrt{25} = 5$
• $6^2 = 6 \times 6 = 36 \implies \sqrt{36} = 6$
• $7^2 = 7 \times 7 = 49 \implies \sqrt{49} = 7$
• $8^2 = 8 \times 8 = 64 \implies \sqrt{64} = 8$
• $9^2 = 9 \times 9 = 81 \implies \sqrt{81} = 9$
• $10^2 = 10 \times 10 = 100 \implies \sqrt{100} = 10$
• $11^2 = 11 \times 11 = 121 \implies \sqrt{121} = 11$
• $12^2 = 12 \times 12 = 144 \implies \sqrt{144} = 12$
• $13^2 = 13 \times 13 = 169 \implies \sqrt{169} = 13$
• $14^2 = 14 \times 14 = 196 \implies \sqrt{196} = 14$
• $15^2 = 15 \times 15 = 225 \implies \sqrt{225} = 15$
• $20^2 = 400 \implies \sqrt{400} = 20$

Buradaki 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 sayıları tam kare sayılardır.

Karenin Alanı ve Bir Kenarı

Tam kare sayıları anlamanın en iyi yolu kare çizimleri yapmaktır. Örneğin 16 adet küçük birim karemiz olsun. Bu kareleri yan yana ve alt alta dizerek büyük bir kare oluşturmak istersek, her sıraya 4 adet kare koymamız ve 4 sıra oluşturmamız gerekir ($4 \times 4 = 16$). Yani 16 birimkarelik bir karenin bir kenarı tam 4 birim uzunluğunda olur. Ancak elimizde 15 birim kare olsaydı, bunlarla kusursuz bir büyük kare oluşturamazdık. Artan parçalar veya boşluklar olurdu. İşte bu yüzden 15 bir tam kare sayı değildir.

Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökü

Tam kare olmayan sayıların karekökleri tam sayı çıkmaz. Örneğin $\sqrt{10}$ işleminin sonucu bir tam sayı değildir, çünkü karesi 10 olan bir tam sayı yoktur. $3^2 = 9$ ve $4^2 = 16$'dır. Demek ki $\sqrt{10}$ sayısı 3 ile 4 arasında bir değerdir. (Bunu bir sonraki konumuzda daha detaylı inceleyeceğiz.)

Karekök İçindeki Negatif Sayılar

Dikkat edilmesi gereken önemli bir kural: Karekök içindeki bir sayı (gerçek sayılar kümesinde) negatif olamaz. Çünkü ne pozitif bir sayının ne de negatif bir sayının karesi negatif çıkmaz. - $(+3)^2 = (+3) \times (+3) = +9$ - $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9$ Gördüğünüz gibi her iki işlemin sonucu da pozitif 9'dur. Bu nedenle $\sqrt{-9}$ işlemi matematikte (lise yıllarında öğreneceğiniz karmaşık sayılara kadar) tanımsız kabul edilir. Ancak $\sqrt{9} = 3$ olarak tanımlıdır. Neden $\sqrt{9} = -3$ demiyoruz? Çünkü karekök fonksiyonu her zaman sonucun pozitif olanını (veya sıfırı) verecek şekilde tanımlanmıştır. Bir sayının karekökü demek, "karesi o sayı olan pozitif değer" demektir. Sadece 0'ın karekökü 0'dır, çünkü $0^2 = 0$'dır ve sıfırın işareti yoktur.

Örnek Çözümler

Örnek 1: Alanı $196 \text{ m}^2$ olan kare şeklindeki bir arsanın etrafına 3 sıra tel çekilecektir. Kaç metre tel gerekir? Çözüm: Öncelikle arsanın bir kenarını bulmalıyız. Karenin alanı $196$ olduğuna göre, bir kenarı $\sqrt{196}$ metredir. Hangi sayının karesi 196'dır? 14'ün karesi 196'dır. Demek ki arsanın bir kenarı 14 metredir. Çevre = $4 \times 14 = 56$ metre. Etrafına 3 sıra tel çekileceği için toplam tel miktarı: $56 \times 3 = 168$ metre tel gerekir.

Örnek 2: $A$ sayısının karesi $144$, $B$ sayısının karesi $81$'dir. Buna göre $A + B$'nin alabileceği en büyük ve en küçük değerler nelerdir? Çözüm: $A^2 = 144$ ise $A$ sayısı $12$ veya $-12$ olabilir. $B^2 = 81$ ise $B$ sayısı $9$ veya $-9$ olabilir. Dikkat ederseniz burada "karekökü" sorulmuyor, "karesi 144 olan sayılar" soruluyor, bu yüzden negatifleri de dikkate almalıyız. $A+B$ en büyük: $12 + 9 = 21$ $A+B$ en küçük: $(-12) + (-9) = -21$ olur.

Büyük Sayıların Karekökünü Bulma (Çarpanlarına Ayırma Yöntemi)

Çok büyük bir sayının tam kare olup olmadığını veya karekökünün kaç olduğunu anlamak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz. Örnek: $\sqrt{324}$ kaçtır? 324'ü asal çarpanlarına ayıralım: $324 \div 2 = 162$ $162 \div 2 = 81$ $81 \div 3 = 27$ $27 \div 3 = 9$ $9 \div 3 = 3$ $3 \div 3 = 1$ Buna göre $324 = 2^2 \times 3^4 = 2^2 \times 3^2 \times 3^2$. Karekök dışına çıkarırken, üslerin yarısını alırız (çünkü karekök kuvvetin yarıya inmesi demektir). $\sqrt{324} = \sqrt{2^2 \times 3^4} = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$. Demek ki $324$ bir tam kare sayıdır ve karekökü $18$'dir.