EBOB ve EKOK: Ortak Bölenler ve Ortak Katlar

Öğrenme Hedefleri

Bu konuyu tamamladığınızda; * İki doğal sayının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulabilecek, * İki doğal sayının En Küçük Ortak Katını (EKOK) hesaplayabilecek, * EBOB ve EKOK'u günlük hayat problemlerinde ayırt edip uygulayabilecek, * Aralarında asal sayı kavramını anlayarak, bu sayıların EBOB ve EKOK ile ilişkisini kavrayacaksınız.

1. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Nedir?

Matematikte bazen iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölebilen (kalansız bölen) sayılara ihtiyaç duyarız. İki ya da daha fazla pozitif tam sayıyı aynı anda tam bölebilen sayıların en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen kısaca EBOB denir. A ve B gibi iki sayının EBOB'u matematiksel olarak EBOB(A, B) şeklinde gösterilir.

Mantığını Anlayalım: Örneğin elimizde 24 litre zeytinyağı ve 36 litre ayçiçek yağı olsun. Bu yağları birbirine karıştırmadan, hiç artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere doldurmak istiyoruz. Kullanacağımız şişeler kaçar litrelik olabilir? * 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 * 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 * Ortak Bölenler: Her iki listede de olan sayılar: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 Bu sayılar, kullanabileceğimiz şişelerin litre cinsinden hacimleridir. "En az şişe kullanmak için şişelerin hacmi ne kadar olmalıdır?" diye sorulduğunda, en büyük ortak böleni, yani 12 litreyi seçmemiz gerekir. EBOB(24, 36) = 12'dir.

Bölen Listesi (Algoritma) ile EBOB Bulma

Büyük sayıların EBOB'unu bulurken liste yapmak zordur. Bunun yerine "Bölen Listesi (Algoritma)" kullanırız: 1. Sayıları yan yana yazar, sağlarına dik bir çizgi çekeriz. 2. En küçük asal sayıdan (2) bölmeye başlarız. 3. Her iki sayıyı da aynı anda tam bölen asal sayıları yuvarlak içine alırız (veya yanına bir işaret koyarız). 4. Her iki sayı da 1 olana kadar bölmeye devam ederiz. 5. İşaretlediğimiz ortak asal çarpanları birbiriyle çarptığımızda EBOB'u buluruz.

Örnek: 40 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulalım. $$ \begin{array}{cc|c} 40 & 60 & \mathbf{2}^ \ 20 & 30 & \mathbf{2}^ \ 10 & 15 & 2 \ 5 & 15 & 3 \ 5 & 5 & \mathbf{5}^ \ 1 & 1 & \end{array} $$ ( işareti koyduğumuz sayılar her ikisini de bölenlerdir.) EBOB(40, 60) = $2 \times 2 \times 5 = 20$ olur.

[!TIP] EBOB Problemleri Nasıl Tanınır? Soru kökünde "eşit büyüklükte parçalara ayırma, bidonlara/şişelere doldurma, tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikme, kumaşları/çubukları eş parçalara kesme" gibi ifadeler varsa, problem bir bütünü parçalara ayırma problemidir ve EBOB kullanılarak çözülür.

2. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir?

Bazen de sayıyı küçültmek (bölmek) yerine büyütmek (katlamak) isteriz. İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan katlarının en küçüğüne En Küçük Ortak Kat veya kısaca EKOK denir. A ve B sayılarının EKOK'u matematiksel olarak EKOK(A, B) şeklinde gösterilir.

Mantığını Anlayalım: Bir doktor 6 günde bir, bir hemşire ise 8 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi aynı gün nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar? * Doktorun nöbet tuttuğu günler: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48... * Hemşirenin nöbet tuttuğu günler: 8, 16, 24, 32, 40, 48... * Ortak Katlar: 24, 48... İkisinin birlikte tekrar nöbet tutacağı ilk gün ortak katların en küçüğüdür. Yani 24. gün. EKOK(6, 8) = 24'tür.

Bölen Listesi ile EKOK Bulma

EBOB bulduğumuz tablo yönteminin aynısını uygularız. Ancak bu kez işaretleme yapmamıza gerek yoktur. Çizginin sağında yer alan tüm asal çarpanların birbiriyle çarpımı bize EKOK'u verir.

Örnek: 15 ve 20 sayılarının EKOK'unu bulalım. $$ \begin{array}{cc|c} 15 & 20 & 2 \ 15 & 10 & 2 \ 15 & 5 & 3 \ 5 & 5 & 5 \ 1 & 1 & \end{array} $$ EKOK(15, 20) = $2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60$ olur.

[!TIP] EKOK Problemleri Nasıl Tanınır? Soru kökünde "beraber sefere çıkan otobüs/gemiler, zillerin aynı anda çalması, hemşire/doktor nöbetleri, küçük fayansları birleştirip büyük bir alan oluşturma, öğrencileri üçerli beşerli sayma" gibi ifadeler varsa, problem parçaları birleştirip bütüne ulaşma problemidir ve EKOK kullanılarak çözülür.

3. Aralarında Asal Sayılar

İki sayının EBOB ve EKOK kavramlarını öğrendik. Şimdi bu konuda çok önemli bir kavram olan "Aralarında Asal Sayılar" kuralını inceleyeceğiz.

Aralarında Asal Sayı Nedir? 1'den başka hiçbir ortak böleni olmayan (yani EBOB'ları 1 olan) sayılara aralarında asal sayılar denir.

Önemli Bir Ayrım: İki sayının aralarında asal olması için, sayıların tek tek kendilerinin "asal sayı" olmasına gerek yoktur. Önemli olan sadece 1 haricinde ortak bölenlerinin olmamasıdır. Örnek: 8 ve 15 sayılarının ikisi de asal sayı değildir. Ancak; 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15 Bu iki sayının 1'den başka hiçbir ortak böleni yoktur. Bu yüzden 8 ve 15 aralarında asaldır.

Aralarında Asal Sayıların Özellikleri ve Kısayollar

Aralarında asal olan sayılarla işlem yaparken hayat kurtaran bazı kısayollar vardır:

1. EBOB ve EKOK Özelliği: Eğer iki sayı aralarında asal ise:
2. EBOB(A, B) = $1$

3. EKOK(A, B) = $A \times B$ (Sayıların çarpımına eşittir.) (Örn: 4 ve 9 aralarında asaldır. EKOK(4, 9) = $4 \times 9 = 36$'dır, uzun uzun liste yapmaya gerek yoktur.)

4. Hangi Sayılar Daima Aralarında Asaldır?

5. Ardışık pozitif tam sayılar daima aralarında asaldır. (Örn: 14 ve 15)
6. Ardışık tek doğal sayılar daima aralarında asaldır. (Örn: 17 ve 19, 25 ve 27)
7. Farklı iki asal sayı daima aralarında asaldır. (Örn: 7 ve 13)
8. 1 sayısı, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır. (Örn: 1 ve 24)

Genel Bir EBOB - EKOK Kuralı

Herhangi iki doğal sayı (A ve B) için, sayıların birbirleriyle çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir. $A \times B = EBOB(A, B) \times EKOK(A, B)$

Özet ve Kapanış

• Bütünü eş parçalara ayırırken EBOB, parçaları birleştirip bir bütün elde ederken veya beraber gerçekleşecek zamanı bulurken EKOK kullanılır.
• Aralarında asal sayıların sadece 1 ortak böleni vardır; EBOB'ları 1'dir ve EKOK'ları sayıların çarpımıdır.
• Bu iki temel matematiksel araç, LGS matematiğinin de en yoğun kullanılan, yorum gücünüzü artıran konularının başında gelir. Bol bol problem çözerek hangi soruda hangisini kullanacağınızı pratik edebilirsiniz.