Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar
Olasılık konusunu incelerken, bazen aynı deney içinde birden fazla olayı aynı anda değerlendirmemiz gerekebilir. İşte bu noktada olayların birbiriyle olan ilişkisine bakarız: "Bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir mi, yoksa birbirlerini dışlarlar mı?"
Aynı örnek uzay içinde gerçekleşen iki olayın ortak hiçbir çıktısı (elemanı) yoksa, yani aynı anda gerçekleşmeleri imkansızsa, bu tür olaylara ayrık olaylar denir. Eğer bu iki olayın en az bir tane ortak çıktısı varsa, yani belirli koşullarda aynı anda gerçekleşebiliyorlarsa, bu tür olaylara ayrık olmayan olaylar denir.
Ayrık Olaylar (Kesişimleri Yoktur)
Ayrık olaylarda "A olayı" ve "B olayı" asla aynı anda olmaz. İki kümenin kesişimi boş kümedir ($A \cap B = \emptyset$).
Örnek 1: Zar Atılması
Bir zarın havaya atılması deneyini düşünelim. Örnek uzay ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$'dır. - $A$ olayı: Zarın üst yüzüne 2'den küçük bir sayı gelmesi. $\rightarrow A = {1}$ - $B$ olayı: Zarın üst yüzüne 4'ten büyük bir sayı gelmesi. $\rightarrow B = {5, 6}$
Bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir mi? Yani zarı bir kere attığınızda hem 2'den küçük hem de 4'ten büyük bir sayı gelebilir mi? Hayır. $A$ ve $B$ kümelerine baktığımızda ortak hiçbir eleman (çıktı) bulunmadığını görürüz. Bu nedenle $A$ ve $B$ olayları ayrık olaylardır.
Örnek 2: Para Atılması
Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde: - Paranın "Yazı" gelmesi olayı ile "Tura" gelmesi olayı birbirini dışlar. Para aynı anda hem yazı hem de tura gelemez. - Ortak çıktıları olmadığı için bunlar ayrık olaylardır.
Ayrık Olmayan Olaylar (Kesişimleri Vardır)
Ayrık olmayan olaylarda, iki kümenin (olayın) ortak elemanları vardır. Olaylar bazen aynı anda gerçekleşebilir. Kümelerin kesişimi boş kümeden farklıdır ($A \cap B \neq \emptyset$).
Örnek 1: Zar Atılması
Yine zar atma deneyini ele alalım. Örnek uzay ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$'dır. - $C$ olayı: Zarın üst yüzüne tek sayı gelmesi. $\rightarrow C = {1, 3, 5}$ - $D$ olayı: Zarın üst yüzüne asal sayı gelmesi. $\rightarrow D = {2, 3, 5}$
Bu iki olaya ait kümeleri incelediğimizde 3 ve 5 sayılarının her iki kümede de yer aldığını (ortak çıktı olduğunu) görüyoruz. Yani zarı attığımızda üst yüze 3 veya 5 gelirse, hem tek sayı gelmiş olur ($C$ olayı gerçekleşir) hem de asal sayı gelmiş olur ($D$ olayı gerçekleşir). Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olduğu için, $C$ ve $D$ olayları ayrık olmayan olaylardır.
Örnek 2: Torbadan Top Çekme
Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 adet top vardır. - $E$ olayı: Çekilen topun numarasının 5'ten büyük olması. $\rightarrow E = {6, 7, 8, 9, 10}$ - $F$ olayı: Çekilen topun numarasının çift sayı olması. $\rightarrow F = {2, 4, 6, 8, 10}$
Bu olaylara ait ortak çıktılar var mıdır? Kümeleri incelediğimizde ${6, 8, 10}$ çıktılarının ortak olduğunu görürüz. Çektiğimiz topun numarası örneğin 8 olursa, hem 5'ten büyük şartını sağlar hem de çift sayı şartını sağlar. Ortak çıktıları olduğu için bu iki olay ayrık olmayan olaylardır.
Önemli Not: Tümleyen Olaylar Her Zaman Ayrıktır!
Bir önceki konuda tümleyen olayı (bir olayın gerçekleşmemesi durumu) işlemiştik. Bir olay ile o olayın tümleyeni daima ayrık olaylardır. Çünkü bir olayın istenen durumu (örneğin zarın tek gelmesi ${1, 3, 5}$) ile tümleyeni (zarın tek gelmemesi, yani çift gelmesi ${2, 4, 6}$) ortak hiçbir çıktıya sahip olamaz. Bir durum hem kendisi olup hem de kendisinin zıttı olamaz.
Sık Karşılaşılan Yanılgılar
Öğrenciler genellikle "ayrık" kelimesini "farklı" kelimesiyle karıştırırlar. İki olayın kuralları birbirinden farklı diye hemen "ayrık" olduklarını düşünürler. Örneğin, "Sınıftan rastgele seçilen öğrencinin kız olması" ile "Seçilen öğrencinin gözlüklü olması" olayları kulağa farklı iki kural gibi gelir. Ancak sınıfta gözlüklü bir kız öğrenci varsa, seçilen kişi bu öğrenci olduğunda her iki olay da (kız olması ve gözlüklü olması) aynı anda gerçekleşmiş olur. Yani ortak çıktı (gözlüklü kız) olduğu için bu iki olay ayrık olmayan olaylardır. Kural şudur: İki olayın ayrık olup olmadığına karar verirken sadece kelimelere (kurallara) değil, mutlaka bu kuralları sağlayan çıktılara (elemanlara) bakmalı ve "Ortak bir elemanları var mı?" sorusunu sormalıyız.