Rasyonel Sayıların Farklı Temsilleri
Matematikte bir sayıyı ifade etmenin tek bir yolu yoktur. Aynı değeri taşıyan sayıları farklı şekillerde yazarak çeşitli problemlerde kendimize kolaylık sağlayabiliriz. Rasyonel sayılar da tıpkı diğer sayılar gibi farklı kılıklara bürünebilirler. Bir rasyonel sayıyı, $ \frac{a}{b} $ (kesir) biçiminde yazabileceğimiz gibi ondalık gösterim (virgüllü sayı) biçiminde de ifade edebiliriz. Günlük hayatta markette bir ürünün fiyatını, bir kutu sütün hacmini ya da bir kalemin ağırlığını söylerken genellikle rasyonel sayıların ondalık gösterimlerinden faydalanırız.
Peki, rasyonel sayıları ondalık gösterimlere nasıl dönüştürürüz? Her rasyonel sayının ondalık gösterimi sonlu mudur? Gelin, rasyonel sayıların bu farklı temsillerini birlikte inceleyelim.
Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Dönüştürme
Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirmenin temel olarak iki yöntemi vardır: Paydayı 10'un kuvvetleri yapma yöntemi ve payı paydaya bölme yöntemi.
1. Paydayı 10'un Kuvvetlerine (10, 100, 1000...) Dönüştürme (Genişletme veya Sadeleştirme)
Eğer bir rasyonel sayının paydası uygun sayılarla çarpılarak (genişletme) veya bölünerek (sadeleştirme) 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetlerine dönüştürülebiliyorsa, bu yöntemi kullanmak oldukça pratiktir.
Örnek: $ \frac{1}{5} $ rasyonel sayısını ondalık gösterimle ifade edelim. Paydayı 10 yapmak için kesri 2 ile genişletelim: $$ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0,2 $$
Örnek: $ \frac{43}{20} $ sayısını ondalık gösterime çevirelim. Paydayı 100 yapmak için kesri 5 ile genişletelim: $$ \frac{43}{20} = \frac{43 \times 5}{20 \times 5} = \frac{215}{100} = 2,15 $$
2. Payı Paydaya Bölme Yöntemi
Bazen paydayı 10, 100, 1000 yapmak ilk bakışta kolay olmayabilir ya da mümkün olmayabilir. Bu gibi durumlarda, rasyonel sayıların tanımında da yer alan temel kuralı uygularız: Payı paydaya bölmek.
Örnek: $ \frac{3}{8} $ rasyonel sayısını ondalık gösterimle yazalım. 3'ü 8'e bölelim. 3'ün içinde 8 yoktur. 3'ün yanına bir sıfır ekleyip bölüme "0," yazarız ve bölmeye devam ederiz: $$ 30 \div 8 = 3 \text{ (Kalan 6)} $$ Kalan 6'nın yanına sıfır ekleyip devam ederiz: $$ 60 \div 8 = 7 \text{ (Kalan 4)} $$ Kalan 4'ün yanına sıfır ekleriz: $$ 40 \div 8 = 5 \text{ (Kalan 0)} $$ Sonuç olarak, $ \frac{3}{8} = 0,375 $ olarak bulunur.
Peki ya bölme işlemi asla bitmezse ne olur?
Örnek: $ \frac{1}{3} $ rasyonel sayısını ondalık gösterimle yazalım. 1'i 3'e bölelim. 1'in yanına sıfır koyup, bölüme "0," yazalım: $$ 10 \div 3 = 3 \text{ (Kalan 1)} $$ Kalan 1'in yanına sıfır koyalım: $$ 10 \div 3 = 3 \text{ (Kalan 1)} $$ Fark ettiğiniz üzere bölme işlemi asla sona ermiyor ve sürekli 3 rakamı tekrar ediyor. Bu durumu $ 0,3333... $ şeklinde ifade ederiz.
Sonlu ve Devirli Ondalık Gösterimler
Rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirdiğimizde karşımıza iki farklı tablo çıkar: 1. Sonlu Ondalık Gösterim: Ondalık kısımdaki basamak sayısı sınırlı olan (bölme işlemi kalansız biten) gösterimlerdir. Örneğin; $ 0,2 $, $ -1,5 $ veya $ 0,375 $. 2. Devirli Ondalık Gösterim: Ondalık kısımdaki bir rakamın ya da rakam grubunun sonsuza kadar, düzenli bir şekilde tekrar ettiği gösterimlerdir. Tekrar eden (devreden) sayıların üzerine çizgi konularak gösterilir. Örneğin; $ 0,333... = 0,\overline{3} $.
Bir Rasyonel Sayının Ondalık Gösteriminin Türü Nasıl Belirlenir?
Bir rasyonel sayıyı bölme işlemi yapmadan, sadece kesre bakarak ondalık gösteriminin sonlu mu yoksa devirli mi olacağını anlayabiliriz. Bunun için altın kural şudur:
- Önce rasyonel sayıyı en sade hâline getirin. (Pay ve paydayı olabildiğince sadeleştirin.)
- En sade hâldeki rasyonel sayının paydasının asal çarpanlarına bakın.
- Eğer paydanın asal çarpanları sadece 2 ve/veya 5 ise, bu sayının ondalık gösterimi sonludur. (Çünkü 2 ve 5, 10'un asal çarpanlarıdır.)
- Eğer paydada 2 ve 5 dışında farklı bir asal çarpan (3, 7, 11 gibi) varsa, bu sayının ondalık gösterimi devirlidir.
Örnek İnceleme: - $ \frac{12}{25} $: Zaten en sade hâlinde. Payda 25. Asal çarpanları sadece 5'tir ($ 5 \times 5 $). Dolayısıyla sonlu ondalık gösterimdir. - $ \frac{18}{15} $: Önce sadeleştirelim. Her ikisi de 3'e bölünür: $ \frac{6}{5} $. Paydanın asal çarpanı sadece 5'tir. Bu yüzden sonlu ondalık gösterimdir. (Sadeleştirmeden baksaydık, payda olan 15'in içinde 3 asal çarpanı olduğunu görüp devirli yanılgısına düşebilirdik. Bu sebeple önce mutlaka sadeleştirme yapılmalıdır!) - $ \frac{7}{6} $: En sade hâlde. Payda olan 6'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 2 dışında "3" asal çarpanı da bulunduğu için bu sayı devirli ondalık gösterimle ifade edilir.
Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme
Rasyonel sayılardan ondalık gösterimlere geçerken kullandığımız adımların, tam tersini de yapabiliriz.
Sonlu Ondalık Gösterimlerin Çevrilmesi
Sonlu ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirirken sayının tamamını virgülsüz hâliyle paya yazarız. Paydaya ise 1'in yanına, sayının virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır ekleriz. Daha sonra gerekirse sadeleştirme yaparız.
Örnek: $ 0,375 $ ondalık gösterimini rasyonel sayı yapalım. Sayının virgülsüz hâli 375'tir. Paya yazarız. Virgülden sonra 3 basamak olduğu için paydaya 1000 yazarız: $$ 0,375 = \frac{375}{1000} $$ Son olarak kesri 125 ile sadeleştirirsek sonuç $ \frac{3}{8} $ olur.
Devirli Ondalık Gösterimlerin Çevrilmesi
Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya (kesir formuna) çevirirken kullandığımız çok önemli ve pratik bir formül vardır. Bu formülü her zaman aklımızda tutmalıyız:
Paya Yazılacak Kısım: Virgül ve devir çizgisi dikkate alınmadan, sayının tamamı yazılır. Bundan, devretmeyen (üzerinde çizgi olmayan) kısmın oluşturduğu sayı çıkarılır. Paydaya Yazılacak Kısım: Sayının ondalık kısmına (sadece virgülden sonrasına) bakılır. Virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.
Formül: $$ \frac{(\text{Sayının Tamamı}) - (\text{Devretmeyen Kısım})}{\text{Virgülden Sonra Devreden Kadar } 9 \text{, Devretmeyen Kadar } 0} $$
Örnek: $ 1,2\overline{6} $ devirli ondalık gösterimini rasyonel sayıya çevirelim. - Sayının tamamı: 126 - Devretmeyen kısım: 12 (Üzerinde çizgi olmayan rakamlar) - Virgülden sonra devreden (çizgili) 1 rakam var: Bir tane 9 yazarız. - Virgülden sonra devretmeyen (çizgisiz) 1 rakam var: Bir tane 0 yazarız. - İşlem: $ \frac{126 - 12}{90} = \frac{114}{90} $. Sadeleştirme yaparsak (iki tarafı 6'ya bölersek), sonuç $ \frac{19}{15} $ çıkar.
Örnek: $ 0,\overline{4} $ devirli ondalık gösterimi: $$ \frac{4 - 0}{9} = \frac{4}{9} $$
Özel ve Şaşırtıcı Bir Durum: $ 0,\overline{9} = 1 $
Devirli ondalık gösterimlerde en sık şaşırılan noktalardan biri $ 0,\overline{9} $ sayısının durumudur. İlk bakışta $ 0,999... $ sayısının 1'den küçük olduğu düşünülür. Ancak dönüştürme kuralını uygulayalım: $$ 0,\overline{9} = \frac{9 - 0}{9} = \frac{9}{9} = 1 $$ Bu durum yalnızca 9 rakamı devrettiğinde geçerlidir. Sonsuza kadar giden 9'lar dizisi, matematiksel olarak sayıyı bir sonraki tam sayıya tamamlar. Benzer şekilde, $ 4,\overline{9} = 5 $ olacaktır.
Sonuç
Rasyonel sayılar, kesir gösterimiyle işlemlerin temelini atarken; ondalık gösterimleriyle ölçüm, fiyatlandırma, hesap makinelerinde işlem yapma gibi günlük hayat ihtiyaçlarımızı karşılarlar. Rasyonel sayıların bu iki farklı maskesi arasında kolayca geçiş yapabilmek, ondalık kısmın sonlu ya da devirli olmasının ardındaki sırrı kavramak ve devirli sayıları kesre çeviren pratik formülü ustalıkla kullanabilmek, matematiğin pratik dünyasında bizlere büyük hız kazandırır.