Çokgenler ve Temel Elemanları

Geometride doğruların kesişimlerinden yola çıkarak elde ettiğimiz kapalı şekillere çokgenler diyoruz. Doğal çevremize, binalara, eşyalara, hatta doğadaki kristal yapılara baktığımızda aslında her şeyin çeşitli çokgenlerden oluştuğunu görürüz. Çokgenler, karmaşık dünyamızı basit ve matematiksel bir şekilde ifade etmemizi sağlayan araçlardır.

Çokgen Nedir? Nasıl Oluşur?

Düzlemde, herhangi ardışık üçü doğrusal (aynı doğru üzerinde) olmayan, üç veya daha fazla noktanın doğru parçalarıyla birleştirilmesi sonucu oluşan kapalı ve düzlemsel şekillere çokgen denir. "Çok" kelimesi kenar sayısını, "gen" kelimesi ise kenar veya açı anlamına gelir. İngilizcede "polygon" olarak geçer (poly: çok, gon: açı).

Bir şeklin çokgen olabilmesi için üç altın kural vardır ve bu kuralların hiçbir istisnası yoktur: 1. Düz çizgilerden (doğru parçalarından) oluşmalıdır: Eğer şeklin herhangi bir kenarı eğri, bükük veya dairesel ise, o şekil çokgen olamaz. Örneğin yarım ay, çember, kalp şekli çokgen değildir. 2. Kapalı olmalıdır: Şeklin başlangıç ve bitiş noktası birbirine bağlı olmalı, açık bir kısmı kalmamalıdır. Su koysanız içinden dökülmemesi gerekir. 3. Doğrular birbirini kesmemelidir: Doğru parçaları sadece uç noktalarında (köşelerde) birleşmeli, ortadan birbirlerinin üzerinden geçmemelidir. Örneğin kum saati şeklinde bir çizim (8 rakamı gibi) çokgen kabul edilmez çünkü doğrular ortada bir yerde kesişmiştir.

Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilirler. İsimlendirmede kenar sayısının sonuna "-gen" eki getirilir: - 3 kenarı varsa üçgen - 4 kenarı varsa dörtgen - 5 kenarı varsa beşgen - 6 kenarı varsa altıgen Bu isimlendirme yirmigen, elligen şeklinde sonsuza kadar gidebilir.

Çokgenlerin Temel Elemanları

Bir çokgeni tanımlayan ve özelliklerini (alanı, çevresi, iç açıları) belirleyen temel elemanları vardır. Bu elemanları iyi bilmek, hesaplamalar yaparken çok önemlidir.

1. Kenar

Çokgeni oluşturan doğru parçalarından her birine kenar denir. Kenar sayısı çokgenin adını belirler. Bir çokgenin oluşabilmesi için en az 3 kenarı olmak zorundadır. İki kenarla (iki doğru parçasıyla) bir alanı kapatamayız.

2. Köşe

İki kenarın (iki doğru parçasının) kesiştiği, birleştiği noktalara köşe denir. Çokgenler genellikle ardışık olarak köşelerine yazılan büyük harflerle isimlendirilirler. Örneğin ABCD dörtgeni, KLM üçgeni gibi. Önemli bir kural: Bir çokgenin kenar sayısı, köşe sayısı ve iç açı sayısı her zaman birbirine eşittir (Altıgenin 6 köşesi, 6 kenarı ve 6 iç açısı vardır).

3. İç Açı ve Dış Açı

Çokgenin içinde kalan ve iki komşu kenarın köşede oluşturduğu açıya iç açı denir. Kenar sayısı kadar iç açısı vardır. Bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasında kalan, çokgenin dışında oluşan açıya ise dış açı denir. Aynı köşeye ait bir iç açı ile bir dış açının toplamı daima $180^\circ$'dir (doğru açı oluştururlar).

4. Köşegen

Bir çokgende, ardışık olmayan (yani yan yana bulunmayan, komşu olmayan) iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Köşegen çokgenin içinden geçer. - Üçgenin köşegeni yoktur! Neden mi? Çünkü üçgende hangi köşeyi seçerseniz seçin, diğer iki köşe zaten ona komşudur. Bağlayabileceğiniz ardışık olmayan bir köşe kalmaz. - Bir dörtgenin (örneğin dikdörtgen veya kare) 2 tane köşegeni vardır (örneğin sol üstten sağ alta, sağ üstten sol alta). - Kenar sayısı arttıkça çizilebilecek köşegen sayısı da artar. Örneğin beşgenin 5 tane köşegeni vardır ve içlerinde bir yıldız şekli oluştururlar.

Düzgün Çokgenler: Geometrinin Estetiği

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit ve bütün iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Düzgün bir çokgen olabilmesi için hem kenarların hem de açıların eşit olması şarttır (Sadece kenarları eşit olan eşkenar dörtgen, açıları farklı olduğu için düzgün çokgen sayılmaz).

• Üç kenarlı düzgün çokgene özel olarak eşkenar üçgen deriz. Her açısı $60^\circ$'dir.
• Dört kenarlı düzgün çokgene özel olarak kare deriz. Her açısı $90^\circ$'dir.
• Diğerleri ise kendi isimlerinin başına "düzgün" kelimesi getirilerek adlandırılır: "düzgün beşgen", "düzgün altıgen" gibi.

Düzgün çokgenler simetrinin ve estetiğin doğadaki en güzel örnekleridir. Arıların peteklerini bal mumu israfını önlemek ve en geniş alanı kaplamak için düzgün altıgen şeklinde yapması, doğanın da matematiği nasıl kullandığının harika bir kanıtıdır. Mimarideki yer karoları da genellikle kare veya düzgün altıgen şeklinde seçilir çünkü bu şekiller arasında boşluk kalmadan yan yana dizilebilirler.