Çemberin Genel Denklemi

Çemberin Genel Denkleminin Çıkarılışı

Bir önceki konuda öğrendiğimiz çemberin standart denklemi şöyledir: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$ Bu denklemde yer alan tam kare ifadeleri açalım: $$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$ Terimleri düzenlersek: $$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$

Bu denklemde ifadeleri daha sade yazmak için bazı değişken dönüşümleri yapalım: * $x$'in katsayısı olan $-2a$'ya D diyelim: $D = -2a \implies a = -rac{D}{2}$ * $y$'nin katsayısı olan $-2b$'ye E diyelim: $E = -2b \implies b = -rac{E}{2}$ * Sabit terim olan $a^2 + b^2 - r^2$ ifadesine F diyelim: $F = a^2 + b^2 - r^2$

Bu dönüşümleri yaptığımızda denklemimiz şu şekli alır: $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

İşte bu denkleme çemberin genel denklemi adı verilir. Standart denklem ile genel denklem aynı çemberi ifade eder, sadece gösterim biçimleri farklıdır. Genel denklem; $x^2$ ve $y^2$'li terimlerin katsayılarının 1 olduğu, $xy$'li terimin bulunmadığı ve $x, y$'ye bağlı ikinci dereceden bir polinom denklemi şeklindedir.

Genel Denklemi Verilen Çemberin Merkezi ve Yarıçapı

Eğer bize çember $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ genel formunda verilirse, bu çemberin merkezini ve yarıçapını bulmamız gerekebilir. Bunun için yukarıda yaptığımız değişken atamalarını tersine kullanırız.

Merkez Koordinatlarının Bulunması

Yukarıda $D = -2a$ ve $E = -2b$ demiştik. Buradan merkezi oluşturan $a$ ve $b$ değerlerini doğrudan bulabiliriz: $$M(a, b) = M\left(-rac{D}{2}, -rac{E}{2} ight)$$ Yani, genel denklemdeki $x$'in katsayısının yarısının ters işaretlisi merkezin apsisini, $y$'nin katsayısının yarısının ters işaretlisi de merkezin ordinatını verir.

Yarıçapın Bulunması

Yarıçapı bulmak için $F = a^2 + b^2 - r^2$ eşitliğini kullanırız. Bu eşitlikten $r^2$'yi yalnız bırakırsak: $$r^2 = a^2 + b^2 - F$$ $a$ ve $b$ yerine $-rac{D}{2}$ ve $-rac{E}{2}$ koyalım: $$r^2 = \left(-rac{D}{2} ight)^2 + \left(-rac{E}{2} ight)^2 - F$$ $$r^2 = rac{D^2}{4} + rac{E^2}{4} - rac{4F}{4}$$ $$r^2 = rac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$ Karekökünü alırsak çemberin yarıçap formülünü elde ederiz: $$r = rac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$$

İkinci Dereceden Bir Denklemin Çember Belirtme Şartları

Bize verilen her $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ şeklindeki ikinci dereceden denklem bir çember belirtmez. Bir denklemin çember belirtebilmesi için bazı kritik şartları sağlaması zorunludur:

1. $x^2$ ve $y^2$'nin Katsayıları Eşit Olmalıdır: $Ax^2$ ve $Cy^2$ terimlerinde $A = C$ olmak zorundadır. $A$ ve $C$ sıfırdan farklı ve birbirine eşit olmalıdır. (Genellikle işlem kolaylığı için denklem A'ya bölünerek katsayılar 1 yapılır.)
2. $xy$'li Terim Bulunmamalıdır: Çember denkleminde hiçbir zaman $x$ ve $y$'nin çarpım halinde olduğu bir terim bulunmaz. Yani $B = 0$ olmalıdır.
3. Diskriminant Pozitif Olmalıdır: Yarıçap formülündeki kök içinin sıfırdan büyük olması gerekir. Yarıçap gerçek bir uzunluk ifade ettiğinden negatif ya da karmaşık (kompleks) sayı olamaz. $\Delta = D^2 + E^2 - 4F$ ifadesine çemberin diskriminantı denir ve şu üç durum ortaya çıkar:
4. $\Delta > 0$ ise: Denklem gerçek bir çember belirtir.
5. $\Delta = 0$ ise: Kök içi sıfır olur, dolayısıyla yarıçap sıfır çıkar. Yarıçapı sıfır olan çember bir çember değil, sadece bir nokta belirtir. Bu nokta $M(-rac{D}{2}, -rac{E}{2})$ noktasıdır.
6. $\Delta < 0$ ise: Kök içi negatif olur ve yarıçap karmaşık (sanal) bir sayı çıkar. Reel (gerçek) sayılar kümesinde yarıçap negatif veya sanal olamayacağından, bu denklem çember belirtmez (bazen sanal çember olarak da adlandırılır, ancak analitik düzlemde grafiği çizilemez).

Tam Kareye Tamamlama Yöntemi (Alternatif Yöntem)

Formül ezberlemek istemeyen öğrenciler için genel denklemi standart denkleme çevirmenin en mantıklı ve sağlam yolu tam kareye tamamlama yöntemidir. Verilen $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ denkleminde $x$'li terimleri bir araya, $y$'li terimleri bir araya getirip, yanlarına uygun sabit sayılar ekleyip çıkararak ifadeleri tam kareye dönüştürebiliriz.

Örnek: $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ denkleminin merkezini ve yarıçapını formülsüz bulalım. Çözüm: İfadeyi düzenleyelim: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = -9$ Şimdi parantez içlerini tam kare yapacağız. Birinci parantez için: $x$'in katsayısı -6'nın yarısının karesi $(-3)^2 = 9$ eklenmeli. İkinci parantez için: $y$'nin katsayısı 8'in yarısının karesi $(4)^2 = 16$ eklenmeli. Eşitliğin sol tarafına 9 ve 16 eklediğimiz için, dengenin bozulmaması için sağ tarafına da ekleriz: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = -9 + 9 + 16$ $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$ Bu denklem standart formdur. Buradan merkezin $M(3, -4)$ ve yarıçapın $r = \sqrt{16} = 4$ olduğu çok kolay ve risksiz bir şekilde görülür.

Parametrik Denklem (Ek Bilgi)

Bazen çemberin denklemi trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak yazılır. Merkezi $M(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan çemberin üzerindeki bir $(x, y)$ noktası, $ heta$ (0 ile $360^\circ$ arası bir açı) parametresi kullanılarak: $$x = a + r \cdot \cos( heta)$$ $$y = b + r \cdot \sin( heta)$$ şeklinde de ifade edilebilir. Bu eşitliklere çemberin parametrik denklemleri denir. Her iki ifadeden $ heta$'yı çekip karelerini alıp toplarsanız $\cos^2( heta) + \sin^2( heta) = 1$ özdeşliğinden dolayı standart denklemi elde edersiniz.